Тиетта. 2010, N 3 (13).

24 водят деталь. Кроме того, геометрическую модель сложной формы можно спроектировать только в одной системе графического моделирования или САПР. Передача сложной 3D модели фактиче­ ски невозможна. Занимаясь этими проблемами, автор проанализировал существующую анали­ тическую геометрию и попытался добавить туда информацию из реляционной алгебры как нау­ ки, непосредственно вытекающей из теории мно­ жеств [7, 8]. К главному теоретическому результа­ ту реляционной алгебры следует отнести мысль об определении порядка до определения множе­ ства. Это следует из первой нормальной формы таблицы реляционной базы данных или второго правила Кодда [7]. К последним результатам ис­ следований следует отнести таблицу бинарных симметрий евклидовой плоскости: 1. Автоморфизм существования из теории мно­ жеств (Цермело) и геометрии (Дьедонне). 2. Автоморфизм принадлежности множеству (А. Френкель). 3. Автоморфизм лингвистического порядка из геометрии (Декарт, Клейн) и реляционной алгебры (Кодд). 4. Автоморфизм математического порядка (пе­ реноса) из теории множеств (Кантор) и геометрии (Г. Вейль, Бахман). 5. Автоморфизм перестановки из геометрии (Гильберт, Дьедонне). 6. Автоморфизм зеркальный из геометрии (Гиль­ берт, Дьедонне) и искусства (Витрувий, Леонардо). Жирным шрифтом выделены имена учёных, теории которых строятся из гипотезы Лейбница. Подробнее остановимся на видах симметрии 3 и 4. Рассмотрим множество целых чисел в порядке возрастания. Оно подчиняется симметрии пере­ носа с шагом (ритмом) 1. Для множества дей­ ствительных чисел R шаг между числами не су­ ществует, тем не менее, симметрия переноса есть, т.к. каждое число больше предыдущих и меньше последующих в равной мере, как утверждал Кан­ тор. В настоящее время это свойство множества действительных чисел в математике принято име­ новать гипотезой континуума. Обратимся к мно­ жеству имён координат в пространстве: X, Y, Z... Каждое имя уникально, как уникально действи­ тельное число. Порядок следования точно опреде­ лен. Ритма не существует ни для действительных чисел, ни для имён координат. Множество имён образует симметрию переноса. Для унификации назовём её симметрией порядка. Порядок на чис­ лах назовём математическим, на названиях - линг­ вистическим. Поскольку названия могут быть произвольны (но уникальны), они могут и не об­ разовывать множества, но перечислимы некото­ рыми средствами. Порядок следования симметрий в таблице строгий. При выборе симметрии она не должна противоречить автоморфизму со старшим номе­ ром. Таким образом, единственной асимметрией является хаос (пустое множество) как противоре­ чащий симметрии существования. При этом сле­ дует понимать, что каждый автоморфизм являет­ ся антагонистом другого. Антагонизм не является исключающим, а скорее добавляющим необхо­ димые средства в геометрию и наш мир. Все сим­ метрии рассматриваются в таблице, в отличие от таблицы Г. Вейля, как бинарные. Эта посылка следует из работ Бахмана и Яглома. Последний утверждал, что только бинарные симметрии при­ менимы к любому типу пространства вне зависи­ мости от аксиом построения. Проанализирована таблица бинарных авто­ морфизмов, следующих из работ математиков- теоретиков. Но насколько она правильна и полна? Для анализа обратимся к структурной лингви­ стике и результатам, полученным в теории ис­ кусственного интеллекта. В 1976 г. вышла кни­ га выдающегося лингвиста В.А. Звегинцева [9], определяющая структуру изучения предложения. Автор монографии предлагает семь уровней изу­ чения текстов на естественном языке [9, 47], к кото­ рым в заключение добавлен ещё один, включаю­ щий множество предложений. Особо важен тезис о бинарной структуре уровней изучения. Эти принципы впервые использованы автором статьи для формализации отношений в языке машино­ строительного чертежа [10]. Дополнительно най­ дена семантическая (смысловая) связь уровня из­ учения номера n с уровнями n-2 и n+2. Приведём окончательный список бинарных автоморфизмов: 1. Симметрия существования непустого мно­ жества - Цермело. 2. Симметрия существования отношения - Кодда. 3. Симметрия принадлежности множеству - Френкеля. 3. Симметрия существования математического множества. 4. Симметрия лингвистического порядка - Де­ карта. 5. Симметрия математического порядка - Кантора. 6. Переставная симметрия. 7. Зеркальная симметрия. Симметрии названы в честь открывших их людей. Как видно при сравнении двух таблиц, до­ полнительно появилась симметрия существования отношения и существования математического мно­ жества. Первая связана с реляционной алгеброй, вторая в теоретических работах пока не упомина­ лась. В таблице два этажа (термин Звегинцева), свя­ занных с теорией множеств (1-3) и геометрией (4-8). Чётные автоморфизмы являются алгебраически­ ми, нечётные алгебре не подчиняются. На основе таблицы получены новые результаты в геометрии [11]. Рассмотрим, отвечает ли данный список авто­ морфизмов объектам художественного творчества.