Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №4.

НАУКИ О ЗЕМЛЕ УДК 548.12 УПОРЯДОЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИЭДРОВ И АЛГОРИТМ Е. С. ФЁДОРОВА Ю. Л. Войтеховский ФГБУН Геологический институт КНЦ РАН Аннотация Ранее предложен способ именования любого выпуклого полиэдра в виде числового кода. По имени он восстанавливается однозначно. Многообразие выпуклых полиэдров строго упорядочено по именам, а именно с ростом n классы n-акров следуют друг за другом без перекрытий. В этой статье показано, что при упорядочивании n-акров по max именам в каждом классе (при данном n) непростые следуют за простыми. Найдена связь процедуры упорядочения с алгоритмом Е. С. Фёдорова генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров. Ключевые слова: выпуклые n -эдры и n -акры, имя n -акра, простые и непростые полиэдры, упорядочение классов, упорядочение n -акров в классе, алгоритм Е. С. Фёдорова. ORDERING OF CONVEX POLYHEDRA AND E. S. FEDOROV’S ALGORITHM Yury L. Voytekhovsky Geological Institute of the KSC of the RAS Abstract A method to name any convex polyhedron by the number code has been suggested earlier. Any polyhedron can be build by its name. The variety of convex polyhedra is strictly ordered by their names. Namely, with growing n the classes o f n-acra follow each other w ithout overlapping. It has been shown in the paper that non-simple n-acra follow simple ones in any class (given n) when ordered by max names. The relation of the ordering procedure to the E. S. Fedorov’s algorithm to generate the full combinatorial variety of convex polyhedra wasfound. Keywords: convex n-hedra and n-acra, the name o f n-acron, simple and non-simple polyhedra, ordering o f classes, ordering o f n-acra in a class, E. S. Fedorov’s algorithm. Введение В работах [1-4] обоснована гипотеза: с ростом n доля комбинаторно асимметричных (примитивных триклинных) выпуклых n-эдров (а также n- акров, т.е. n-вершинников — в силу дуальности, сохраняющей симметрию) в их полном многообразии монотонно стремится к 100 %. Среди 12-эдров (6384634) их 6336013 (99.238 %), среди простых (в каждой вершине сходятся три ребра/грани) 16-эдров (17490241) их 17411448 (99.550 %). Тем самым обоснована проблема: найти способ описания выпуклых полиэдров, не использующий точечных групп симметрии. Примитивный вид симметрии триклинной сингонии (точечная группа симметрии, т. г. с. 1; порядок группы автоморфизмов, п. г. а. 1) связал классическую кристалломорфологию с комбинаторно-геометрической теорией выпуклых полиэдров. В статьях [5, 6] предложено характеризовать выпуклые n-акры именами-кодами, получаемыми из матриц смежности их реберных графов. В зависимости от нумерации вершин у n-акра получается п ! / п . г. а. имен. В этом смысле асимметричный n-акр (п. г. а. = 1) факториален, симметричный — афакториален. Он восстанавливается по любому имени. Все имена связаны А - Л ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2016(27) 5