Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №3.

Специальные комбинации кристаллических простых форм не говорит об особых комбинациях простых форм в том или ином классе симметрии, положив, что для каждого минерала в реальных условиях их определяют физические законы. Для вершинных усечений найдено, что все классы симметрии допускают геометрическую форму, дуальную исходной закрытой простой форме. В классах 23 и 4 3m кубу дуальна комбинация двух тетраэдров — гемиэдрических форм октаэдра. К сожалению, тема голо-, геми-, тетарто- и огдоэдрии, связывавшая родственные простые формы в ряды, незаметно исчезла из кристалломорфологии. Между закрытыми простыми формами обнаружены новые связи. Так, в тригональной сингонии ромбоэдр и дитригональный скаленоэдр имеют в качестве дуальных различные комбинации ромбоэдра и пинакоида. Для первого она выглядит как тригональная антипризма. Для второго — она же, срезанная параллельно пинакоиду так, что треугольные грани стали трапециями. В кубической сингонии ромбододекаэдр, тетрагонтритетраэдр, гексатетраэдр, тригонтриоктаэдр и тетрагексаэдр имеют в качестве дуальных форм различные комбинации куба и октаэдра (или двух тетраэдров). Тетрагонтриоктаэдр и гексоктаэдр имеют в качестве дуальных различные комбинации ромбододекаэдра, октаэдра и куба. Отличия состоят в разном развитии простых форм. Одна комбинация получается из другой движениями граней вдоль нормалей. Им соответствуют повороты граней исходных з. п. ф. на ребрах. Так, грани дитригонального скаленоэдра, попарно сливаясь в параллельном положении, образуют грани ромбоэдра. Для реберных усечений найдено, что у октаэдра и куба таковым является ромбододекаэдр, для тригонтриоктаэдра и тетрагексаэдра — комбинация тетрагонтриоктаэдра и ромбододекаэдра (в классе 4 3m тетрагонтриоктаэдр замещен комбинацией двух тригонтритетраэдров — еще один пример гемиэдрии). Это подчеркивает родство указанных исходных з. п. ф. Заключение Найдено, что полная совокупность комбинаций простых форм в каждом классе симметрии образует коммутативную полугруппу идемпотентов (с двусторонним сокращением, 0 и внешней 1), изоморфную полугруппе комбинаций R*, содержащих простую форму Х , с групповой операцией пересечения. Но известно, что для каждой такой полугруппы есть единственная сопряженная с ней полуструктура. И нужен их более глубокий анализ применительно к объектам минералогической кристаллографии. Выявленная полугруппа реализована в комбинациях простых форм природных кристаллов, что говорит о ее естественном характере. Всякая фундаментальная задача хороша расширениями и специализациями. Задача Роме- де-Лиля отвечает этому критерию. Ее очевидное расширение — одновременное усечение закрытых простых форм по вершинам и ребрам. Легко видеть, что решение многовариантно, поскольку определяется глубиной усечения тех и других, но тем интереснее с точки зрения поиска природных реализаций. Самая общая формулировка задачи: можно ли гарантировать полное вершинное или / и реберное усечения любого кристаллического полиэдра простыми формами, разрешенными в его классе симметрии. Поскольку перебор вариантов здесь невозможен, следует применить иные рассуждения. Реберным усечением куба и октаэдра является ромбододекаэдр (табл. 2). Это наблюдение подчеркивает их родство (дуализм) и подсказывает специальную задачу. Из теоремы Эйлера следует, что у геометрически дуальных выпуклых полиэдров числа ребер совпадают. Но всегда ли совпадают их реберные усечения? Ответ не очевиден. Зато очевидно, что теоретический и практический разделы кристалломорфологии вовсе не исчерпали своих ресурсов. Авторы надеются, что эта статья о задаче Роме-де-Лиля наглядно показала пользу от чтения старых книг, вроде бы имеющих лишь библиографический интерес. Этим качеством обладали наши учителя, выдающиеся ученые и историки науки проф. И. И. Шафрановский и академик Н. П. Юшкин, труды которых [3, 4, 11] не теряют актуальности уже несколько десятилетий. 20 http://www.kolasc.net.ru/russian/news/vestnik1.html