Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №3.

Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков вершин куба можно получить дуальный ему октаэдр, но операция оказывается необратимой, октаэдр — тупиковой формой. Таким образом, в максимальной полноте задача об усечениях кристаллического полиэдра по вершинам и ребрам, хотя и неявно, содержится именно в работе «La cristallographie...» Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля. Результаты Для решения задачи составлены оригинальные компьютерные алгоритмы, позволяющие строить вершинные и реберные усечения любой з. п. ф., распознавать простые формы (их оказалось не более трех) в полученных комбинациях, изображать их отдельно и в любых парных сочетаниях, причем в разных вариантах — с видимыми задними ребрами и без них, с вращением форм в 3D и выбором желаемой проекции. Результаты сведены в табл. 1, 2 и на рис. 2. При их рассмотрении следует иметь в виду различия кристаллографического и геометрического восприятия полиэдрических форм. Так, кристаллограф знает три различных по симметрии тетраэдра — простые формы: ромбический, тетрагональный и кубический. Все прочие «тетраэдры» суть комбинации, например, моноэдров (плоскостей). Октаэдр в разных классах симметрии может быть истинным (m3, 432, m 3m), а может лишь казаться таковым, будучи, по сути, композицией двух тетраэдров (23, 4 3m) в том смысле, что грани октаэдра, взятые через одну и продолженные до замыкания, образуют два тетраэдра, в пересечении дающие исходный октаэдр. Призмы в кристаллографии не имеют оснований и как открытые простые формы отсутствуют в левых колонках табл. 1 и 2. Обратим внимание на то, что в таблицах отсутствуют триклинная и моноклинная сингонии — в них вообще нет з. п. ф. Кристаллические полиэдры этих сингоний образованы комбинациями простых форм. Но исходное условие решаемой далее задачи — именно закрытая (полиэдрическая) простая форма. В связи с возможным обобщением задачи особый интерес вызывает примитивный класс симметрии триклинной сингонии (точечная группа симметрии 1), в котором разрешена лишь одна простая форма — моноэдр. Несмотря на кажущийся минимум возможностей, подходящей комбинацией моноэдров можно образовать выпуклый полиэдр любого комбинаторного типа. В этом смысле именно через примитивный класс симметрии триклинной сингонии кристалломорфология сообщается с комбинаторно-геометрической теорией выпуклых полиэдров. Таблица 1 Вершинные усечения з. п. ф. № Исходная з. п. ф. Вершинное усечение 1 2 3 Ромбическая сингония 1 Тетраэдр ромб. (4) Тетраэдр ромб. 2 Бипирамида ромб. (2 + 2 + 2) 3 пинакоида Тригональная и гексагональная сингонии 3 Бипирамида триг. (3 + 2) Призма триг. + пинакоид 4 Ромбоэдр (6 + 2) Ромбоэдр + пинакоид (триг. антипризма) 5 Трапецоэдр триг. (6 + 2) Трапецоэдр триг. + пинакоид 6 Бипирамида дитриг. (6 + 2) Призма дитриг. + пинакоид 7 Скаленоэдр дитриг. (6 + 2) Ромбоэдр + пинакоид (усеченная триг. антипризма, грани — трапеции) 8 Трапецоэдр гекс. (12 + 2) Трапецоэдр гекс. + пинакоид 9 Бипирамида гекс. (6 + 2) Призма гекс. + пинакоид 10 Бипирамида дигекс. (12 + 2) Призма дигекс. + пинакоид ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 3/2016(26) 15