Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №3.

Специальные комбинации кристаллических простых форм идемпотентов дана нам в комбинациях простых форм на природных кристаллах, что говорит о ее естественном характере. Задача Роме-де-Лиля для закрытых простых форм Кристаллический полиэдр сегодня рассматривают с точки зрения взаимного расположения граней (полиэдр — многогранник), что исторически обусловлено неоднократно открывавшимся законом постоянства плоских углов на ребрах кристалла и гониометрической техникой их измерений. Но так было не всегда. А. Г. Вернер различал кристаллы по вершинам [3], а Ж. Б. Л. Роме-де-Лиль в 1783 г. в труде «La cristallographie...» отдал должное всем элементам: «Какой-либо кристалл может быть усеченным в своих вершинах, а также вдоль ребер. < ...> Наблюдаются кристаллы, часть которых имеет усечения или на вершинах, или даже и на вершинах, и на ребрах» [4, с. 13]. К сожалению, оригинальные труды Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля не удалось найти даже в богатой личной библиотеке А. Е. Ферсмана в Кольском научном центре РАН, и мы пользуемся переводами И. И. Шафрановского. В приведенном рассуждении вполне просматривается «задача Роме-де-Лиля»: для данного кристаллического полиэдра найти формы, получающиеся усечением вершин или ребер, в самом сложном варианте — тех и других одновременно. Для определенности исходных условий далее она решена для 30 закрытых (полиэдрических) простых форм (з. п. ф.). При этом эквивалентные (переводимые друг в друга преобразованиями симметрии) вершины и ребра усекаются одинаково — секущая плоскость ориентирована одинаково относительно эквивалентных граней, сходящихся в вершине или на ребре. Легко видеть, что вершинные усечения приводят к геометрически дуальным формам. Для этого вершины следует усекать настолько глубоко, чтобы с поверхности полиэдра исчезли грани исходной формы. Дуальные полиэдры хорошо известны в минералогии: октаэдр дуален кубу на кристаллах флюорита и алмаза, комбинация призмы и пинакоида дуальна одноименной бипирамиде на кристаллах топаза и апатита (рис. 1) и т. д. Эти наблюдения обнаруживают в задаче Роме-де-Лиля реальную, диктуемую природой подоплеку. Одновременно эта часть задачи допускает иную, совершенно нетривиальную формулировку: в каждом ли классе симметрии допустима форма, геометрически дуальная исходной з. п. ф.? Рис. 1. Флюорит (слева, Намибия) и топаз (справа, Урал) — примеры дуальных простых форм и их комбинаций на одном кристалле: куб vs. октаэдр (слева); ромбическая бипирамида vs. комбинация ромбической призмы и пинакоида [http://geo.web.ru/druza/L-Dalnegor_M.htm; http://geo.web.ru/druza/m-flu_33-pg138.htm] Заметим, что об усечении (притуплении) ребер кристаллического полиэдра говорится в правиле компликации В. М. Гольдшмидта (1853-1933) [5, 6]. Но в нем не говорится об усечении вершин. Усечения вершин (операция а) и ребер (операция в) предусмотрел Е. С. Фёдоров (1853-1919) в своем алгоритме генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров из тетраэдра [7-10]. Но они применимы лишь к простым (в каждой вершине сходятся ровно три грани / ребра) полиэдрам. В такой постановке усечением 14 http://www.kolasc.net.ru/russian/news/vestnik1.html