Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №3.

Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков по правилу компликации — согласно числовым рядам Брокочи). Физическая кристалломорфология добавляет правила Е. С. Фёдорова (преобладают грани с наибольшей ретикулярной плотностью) и Г. В. Вульфа (преобладают грани с наименьшей скоростью роста). Авторы утверждают, что вопрос о комбинациях кристаллических простых форм далеко не исчерпан. Статья посвящена 280-летию со дня рождения Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля (1736-1790), одного из основателей кристаллографии. Комбинации простых форм как алгебраическая структура Содержат ли комбинации простых форм другие смыслы? Например, какая алгебраическая система при этом реализуется? По аналогии с тем, что в структурах кристаллов реализованы 230 пространственных, а в их огранке — 32 точечные группы симметрии, что вторые суть фактор-группы от первых по подгруппам трансляций и т. д. Этот аспект теории до сих пор не обсуждался, кроме работы одного из авторов [1]. Пусть А, , Ay , A k ... — простые формы одного класса симметрии; i, j, k ... = 1, ..., n; где n — число простых форм в классе. Обозначим их комбинацию А, х Aj х Ak х... . Операцию х естественно назвать умножением. Определим полную совокупность комбинаций простых форм в классе: £ = {Аг- х Aj х Ak х . : V i, j, k ... = 1, . , n}. Каковы ее свойства? Будем считать комбинацию А, х Aj х A k х . однозначно определенной набором входящих простых форм без морфологических и генетических смыслов: относительных площадей граней простых форм, последовательности их образования на кристалле и т. д. Тем самым определено, что £ — группоид. При этом имеет место ассоциативность операции х: (А, х Aj) х A k = А, х (Aj х Ak), т. е. £ — полугруппа. Очевидно, а , х Aj = Aj х А, для любых i, j, т. е. £ — коммутативная полугруппа. Из А, х Aj = А, х Ak следует Aj = Ak. Аналогично: из А, х A k = Aj х Ak следует А, = Aj — имеют место левое и правое сокращения, т. е. £ — полугруппа с двусторонним сокращением. Для любой простой формы выполнено А, х А, = А, — такие элементы в алгебраических системах называются идемпотентами. Каждый элемент полугруппы £ идемпотентен. По сути, это означает, что каждая простая форма присутствует на кристалле в одном экземпляре. Особую роль в £ играет полная комбинация простых форм данного класса П = А1 х А2 х . х An. Для любой простой формы Ak выполнено: A k х П = П х A k = П, т. е. П — двусторонний 0 полугруппы £, а каждый ее элемент — двусторонняя 1 для П. Любое подмножество простых форм из полной совокупности {А1, А2, ... , А„} порождает полугруппу £°, являющуюся подполугруппой для £. В полугруппе Е° есть свой двусторонний 0 — полная комбинация образующих ее простых форм — П°. Каждый элемент из £° — двусторонняя 1 для П°. Но в полугруппе £ нет 1 (такой простой формы, комбинация которой с любой другой ничего к последней не добавляет), которую для полноты системы можно доопределить внешним образом. Итак, полная совокупность комбинаций простых форм каждого класса симметрии образует коммутативную полугруппу, каждый элемент которой идемпотентен, с двусторонним сокращением и 0, а также внешне присоединенной 1. Эти свойства приводят к содержательному результату ввиду теоремы: всякая коммутативная полугруппа идемпотентов изоморфна некоторой полугруппе, элементами которой являются подмножества некоторого множества, а действием — операция пересечения [2]. Искомую полугруппу, изоморфную полугруппе £, образуют ее подмножества Ях всех элементов, делящихся на Х, т. е. всех комбинаций простых форм, содержащих форму Х. Полугруппы этого вида играют в алгебре особую роль ввиду их связи с понятием частичной упорядоченности и теоремы: для каждой коммутативной полугруппы идемпотентов существует единственная сопряженная с ней полуструктура. Нужен более глубокий анализ выявленной фундаментальной полугруппы и сопряженной полуструктуры применительно к объектам минералогической кристаллографии. Выявленная коммутативная полугруппа ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 3/2016(26) 13