Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №2.

Формирование слоистой структуры. Qn 2n' функциями которых являются многочлены: y = н (х) = (- 1 )nex2— _ e~х2, где H n ( x ) - многочлены n dxn Эрмита. Тогда общее решение для уравнения (7) запишется как дополнение к общему стационарному решению (5) и разложение нестационарной добавки v по собственным функциям: да v ( x,t ) = e ^ X an H n ( x ) e - (n+1)(t-t0) (9) n=0 В системе (9) коэффициенты многочленов Эрмита an вычисляются по формулам [34]: да ~ ^ = j v0(X)Hn(x)dx (9.1) n'V% -да Для приведенного преобразования интеграла (9), с учетом решения для уравнения (8) и исходя из известных свойств функций для многочленов Эрмита [30] erf( - x ) = -erf( X^ н п (-х) = (-1)n н и(x), H 'п (- х) = 2nHn4 (x), (9.2) получаем определенный интеграл вида: да j e -x2H2, / ax)dx = (V %/ 2)[(2n!) / n! ](a2- 1)n. (10) 0 Приведенные выражения позволяют проводить аналитический расчет отдельных коэффициентов интеграла в системе (9), следуя схеме: a.n = 0, a ,n+1 = - 11"" (10.1) 2n+1 22n+2(n + 1)'V% Подстановка коэффициентов из системы (10) в формулу нестационарной добавки ѵ (9) дает: v(X,t) = - L e-xIX X)e-2n(t-t0). (1°.2) "V% n=1 2 n! Многочлены Эрмита вычисляем по рекуррентным формам соотношений вида [2, 24]: Hn+1(X) = 2xHn(x) - 2nHn-'(х), H0(x) = 1 H1(x) = 2 х . (103) Для уменьшения погрешности за счет резкого возрастания порядков чисел в ряду (10.3) перейдем к другому рекуррентному соотношению: вместо Н„(х), которое быстро возрастает по n [30, 34], вводим вспомогательную функцию hn(x) по их же отношению [2]: h2n (X) = h2n+1(X) = (-1)n (104) H 2 n(х) H 2 n+ 1 (х) 22n(n -1)! ' В результате преобразований получаем полный набор формул, позволяющий аналитический расчет добавки v(x,t) в уравнениях (6-7) по системе (9-10). В общем виде: да v ( X, t ) = - - ^ e х X h2n_x( х)(1 - 2 t 0 ) ne - 2n ^ (10.5) 4V % n=1 Так как в уравнении (10.5) требуется перейти к пределу t0^ 0 (см. выше), делаем заключение о том, что расчетное выражение (6) для концентрационной функции fx ,t) не содержит неопределенных параметров и решается численно. С учетом вспомогательного выражения для hn(x) в рекуррентных соотношениях многочленов Эрмита численный расчет в формуле (10.5) проводим следующим образом: h 0 ( X ) = 1, h 1 ( х ) = 2 х ; h 2n+1 ( х ) = 2 X h 2n ( Х ) + ~ 7 h 2n-1 ( Х ) ; h 2n+2 ( х ) = 1 . [ - x h 2n+1 ( х ) + ( 2 n + 1 )h 2n ( х ) . ( 1 1 ) n + 1 2 n + 4 Окончательно в уравнениях (6) и (8) значения функций f x , t) находим как сумму стационарного решения по формуле (5) и ее нестационарной добавки ѵ(х, t). Учитывая обозначения в системах (10-11), уравнение распределения концентрационной функции f (х, t ) принимает окончательный вид: 1 1 да f ( X,t ) = — e r f c ( х ) - _ e-X X КЛ х )(1 - 2 to )ne - 2n(t-t°) = Drt. (12.1) 2 4V % n=1 ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 2/2016(25) 69