Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №2.

С. И. Бардан, Б. М. Долгоносов Упростим систему (3.2), учитывая полученное нами ранее решение [1, 2], что с приближением к границе внутреннего раздела в контактирующей паре растворов скорости микроконвекционного переноса уменьшаются и обращаются в «нуль» для самой границы (по 2.3-2.5): Ѵх=0^1 = 0, тогда поток через границу: J (x, t )= 0. При малых х, т. е. у границы или в ее малых окрестностях (рис. 1-2), можно пренебречь конвективным членом для системы (3), трансформировав ее в плоскую краевую задачу. Упрощение (3.2) проводим для условий: t << 1, т. е. рассматриваем начальные ступени перемешивания (см. выше). Это позволяет перейти к одномерной диффузионной задаче с ее приближенным решением, согласованным с начальными условиями - по пределу min для уравнения (4), тогда первое полное диффузионное решение в уравнении (3.2): f (x ') = 2 erff e ) ■ (5) где erfc - дополнительная функция ошибок; f(x,t) - искомая концентрационная функция по (3.2). Для приближенного стационарного решения в уравнении (3.2) требуется взять предел функции для t ^ да. Подставив, получим для t ^ да: f ( x) * 2erfc( x). (5.1) Сразу же оценим точность численного расчета, определив ошибку при отбрасывании конвективной составляющей в системе (3.2). Учтя знаки аргумента по оси х и подставив выражение (5) вместо с , для модуля получим: |(xdf / dx)/(df / dt )| = t . (5.2) По формуле (5.2) ошибка решения для системы (5) за счет отбрасывания члена, учитывающего перенос субстанций с турбулентной конвекцией, будет нарастать пропорционально росту аргумента (t) - времени, что в целом очевидно. Делаем промежуточный вывод о том, что при заданных краевых условиях для системы (3) полученное по уравнению (5) решение имеет смысл для достаточно малых промежутков. Это и учтено условием t << 1. Далее представим общее решение для системы (5) в виде суммы: во-первых, стационарного решения при t ^ да в уравнении (5.1) и, во-вторых, нестационарной добавки, которую обозначим v(x,t): f ( x,t ) = |e rfc ( x) + v( x,t ) = Dxt. (6) Вид функции Dxt с расчетом v(x,t) по уравнению (6) находим по формуле (3.2). При нулевых граничных условиях: — - x — - 1 ■d-V= 0, при t > t0, -да < x< +да, откуда ѵ(х, t0) = v0(x), ѵ(±да, t) = 0. (7) dt dx 2 dx Преобразуя выражение (7), получим, что добавка v0(x) будет равна разности между уравнениями (4) и (5.1): 1 Г і 1 v0(x) = —erfc —j = - —erfc( x). (8) 2 V2t0 , Решение (8) ищем путем подстановки преобразованных величин в виде вспомогательных функций v(x,t) = u(x)T(t). Нормируя и разделяя переменные, получим: 2T' / T =(и" + 2 xu ')/u =-X . Как известно [29, 30, 34], его стандартными решениями являются выражения вида: Т = Сехр [-(Х/2) t - t0], откуда: и" + 2xu' + Хи = 0. Преобразование переменной в виде и = yexp(-x2) приводит к уравнению Эрмита канонического вида: у" + 2xy' + (Х- 2) у = 0 [30]. Из специальной литературы известно, что уравнение имеет спектр значений: Х= 2n + 2, n = 0, 1, ..., собственными 68 ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 2/2016(25)