Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №1.

Упорядочение выпуклых полиэдров 7-вершинники (по min именам): 241483 / 2089235 (12), 241484 / 1990799 (2), 241485 / 2057485 (1), 241487 / 2093699 (2), 241492 / 1984627 (4), 241493 / 2057491 (2), 241494 / 1992975 (1), 241495 / 2061955 (1), 241502 / 2057487 (2), 241503 / 2095686 (2), 241524 / 1993099 (6), 241525 / 2057557 (2), 241527 / 2062022 (2), 241535 / 2095960 (6), 241611 / 2093266 (4), 241612 / 1990871 (2), 241613 / 2061522 (2), 241614 / 2057555 (1), 241615 / 2095881 (1), 241630 / 2057563 (4), 241631 / 2096914 (4), 255655 / 1993287 (6), 255662 / 1993043 (2), 255663 / 2060871 (1), 255678 / 2057564 (2), 255679 / 2062105 (2), 255727 / 2093703 (4), 255734 / 1993051 (2), 255735 / 2061959 (1), 255743 / 2095954 (2), 257905 / 1993131 (4), 257907 / 2057566 (2), 257911 / 2062023 (6), 515806 / 2057567 (20). Они же (по max именам): 241492 / 1984627 (4), 241484 / 1990799 (2), 241612 / 1990871 (2), 241494 / 1992975 (1), 255662 / 1993043 (2), 255734 / 1993051 (2), 241524 / 1993099 (6), 257905 / 1993131 (4), 255655 / 1993287 (6), 241485 / 2057485 (1), 241502 / 2057487 (2), 241493 / 2057491 (2), 241614 / 2057555 (1), 241525 / 2057557 (2), 241630 / 2057563 (4), 255678 / 2057564 (2), 257907 / 2057566 (2), 515806 / 2057567 (20), 255663 / 2060871 (1), 241613 / 2061522 (2), 241495 / 2061955 (1), 255735 / 2061959 (1), 241527 / 2062022 (2), 257911 / 2062023 (6), 255679 / 2062105 (2), 241483 / 2089235 (12), 241611 / 2093266 (4), 241487 / 2093699 (2), 255727 / 2093703 (4), 241503 / 2095686 (2), 241615 / 2095881 (1), 255743 / 2095954 (2), 241535 / 2095960 (6), 241631 / 2096914 (4). Связь упорядочений и порядков групп автоморфизмов не подтвердилась. Это хорошо видно по асимметричным полиэдрам (подчёркнуты), распределённым в многообразии равномерно. То есть, если min (max) имя полиэдра указывает на его меньшую или большую сложность, то это не та сложность, которая схвачена порядком его группы автоморфизмов: симметричный полиэдр - прост, асимметричный - сложен. Диапазоны имён перекрываются для любых двух полиэдров. Упорядочение классов Рассмотрим диапазоны имен для 4- ... 7-вершинников: [63], [507, 1022], [7915, 32754], [241483, 2096914]. Как видим, они не перекрываются. Нетрудно показать, что это верно в общем случае и ведет к упорядочению классов и-вершинников, а именно: при любом упорядочении и-вершинников внутри классов диапазоны имен для разных и не перекрываются. Обозначим max имя и-вершинника N(n)max, min имя (и + 1)-вершинника N(n + 1)min. Первое оценим сверху, второе - снизу. М и^ж не превосходит имени, составленного из единиц, заполняющих верхний треугольник матрицы смежности: < 1 + 10 + ... + 10и(и- 1}/ 2- 1= [10и(и- 1}/ 2 - 1] / 9. Точная оценка достигается, по-видимому, только для имени тетраэдра (рис. 1). Чтобы построить нижнюю оценку для М(и + 1)min, заметим, что в каждой вершине полиэдра сходятся не менее трёх рёбер. Поставив в конце первой строки матрицы смежности три единицы и заполнив верхний треугольник нулями, построим имя, являющееся нижней оценкой для М(и + 1)min. Более того, оставим лишь последнюю единицу, что даёт весьма грубую, но достаточную оценку 10и(и- / 2: N^max < [10и(и- 1}/ 2 - 1] / 9 < 10и(и- 1}/ 2 < М(и + 1)min , что и требовалось доказать. Заключение Предложенный метод именования выпуклого полиэдра через матрицу смежности выявил три интересных факта. 1. Полиэдр однозначно восстанавливается по любому имени. 2. Число имен и -вершинника равно и ! / p , где р - порядок группы автоморфизмов. Тем самым ускользающая от конструктивного определения категория асимметричности полиэдра 42 ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 1/2016(24)