Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №1.

Упорядочение выпуклых полиэдров \ / 3 1 \ / 3 1 \ / 5 1 \ / 2 1 \ / / \ ? 5 Л ? 4 ? 4 / \ 3 5 / \ 507 509 510 751 759 \ / 4 1 \ / 2 1 \ / 2 1 \ / 5 1 \ / 3 3 4 5 4 3 / К 4 3 / \ 766 863 887 893 927 \ / 2 1 \ / 4 2 \ / 4 2 \ / 5 2 \ / 5 3 5 5 / \ 3 3 / \ 4 3 / \ 943 955 990 1005 1011 Рис. 2. 15 имен 4-гранной пирамиды, упорядоченных по возрастанию, и соответствующие нумерации вершин Из общего правила следует, что у комбинаторно асимметричных n-вершинников (р = 1) число имен равно n! Этот лежащий на поверхности результат интересен тем, что выражает свойство асимметричности полиэдра не через отрицание (отсутствие) симметричности, а через независимую характеристику (число вершин) и процедуру построения матрицы смежности, тоже не требующую теоретико-групповых преобразований. В указанном смысле асимметричный полиэдр факториален, симметричный - афакториален. Число имён n-вершинника - показатель его симметричности: при данном n, чем больше имён, тем ниже симметрия. Какое имя выбрать? Ответ зависит от решаемой задачи. Минимальное (min) имя удобно для краткого описания полиэдра. Максимальное (max), возможно, указывает на сложность его строения в том же смысле, что и порядки групп автоморфизмов. На это указывает и число имён полиэдра. Можно предположить, что смысл содержится и в диапазоне, охватываемом именами данного полиэдра. Очевидно, по минимальным и максимальным (а также любым другим) именам полиэдры можно строго упорядочить. Но что это упорядочение несёт с собой? С целью первичного анализа данных упорядочим n-вершинники по минимальным и максимальным именам. Для удобства изображения и характеристики даны на рис. 3. 5-вершинники (по min именам): 507 / 1011 (8), 511 / 1022 (12). Одновременно они упорядочились по max именам и порядкам групп автоморфизмов (в скобках). Диапазоны имён перекрываются. 6-вершинники (по min именам): 7915 / 32531 (10), 7916 / 29327 (12), 7917 / 31571 (2), 7919 / 32681 (2), 7934 / 31582 (4), 7935 / 32754 (4), 16350 / 31583 (48). Они же (по max именам): 7916 / 29327 (12), 7917 / 31571 (2), 7934 / 31582 (4), 16350 / 31583 (48), 7915 / 32531 (10), 7919 / 32681 (2), 7935 / 32754 (4). Связь упорядочений и порядков групп автоморфизмов не подтвердилась, диапазоны имён перекрываются для любых двух полиэдров. 40 ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 1/2016(24)