Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №1.

Ю. Л. Войтеховский Как назвать выпуклый полиэдр? Простейший в 3D выпуклый полиэдр - тетраэдр (симплекс). Его комбинаторный тип следует из имени. Но следует не с очевидностью, позволяющей нарисовать его рёберный граф, зная имя, а с помощью дополнительной информации о геометрии пространства. С ростом числа граней комбинаторное разнообразие полиэдров быстро растет: 5-эдров - 2 (3-гранная призма и 4-гранная пирамида), 6-эдров - 7 (3 имеют имена: куб, 3-гональная бипирамида, 5-гранная пирамида), 7-эдров - 34, 8-эдров - 257, 9-эдров - 2606, 10-эдров - 32300, 11-эдров - 440564, 12-эдров - 6384634 и т. д. С ростом числа граней всё меньше полиэдров имеют имена. Асимптотически «почти все» они безымянны. Имена есть лишь у специфических форм, например, у полиэдров Платона, Архимеда, Каталани. В кубической сингонии приняты «конструктивные» кристаллографические имена: тригон-тритетраэдр, тетрагон-тритетраэдр, пентагон-тритетраэдр, тригон-гексатетраэдр, тригон-гексоктаэдр и т. д. Чтобы сконструировать эти формы, нужно знать алгоритм. Так, тригон-гексоктаэдр означает, что над каждой гранью октаэдра надстроена «пирамидка» из шести (гекс) треугольников (тригонов). Этот 48-эдр - самый многогранный среди простых форм кубической сингонии и, по-видимому, самый симметричный среди выпуклых 48-эдров. Из сказанного следует, что данная область знания математиками систематически не охвачена. А в кристаллографии она содержится в самой «поверхностной» (занятой описанием поверхности кристаллов) части - кристалломорфологии. ІѴ\ "0 11г / 11г Ѵ Ч . * 10 11 11 110 1 1 J 11 0; v 7 Рис. 1. Построение имени тетраэдра через матрицу смежности Между тем почти очевиден способ численного описания полиэдра. Рассмотрим рёберный граф тетраэдра (рис. 1). Нумеруем его вершины. Из-за его высокой симметрии и малого числа вершин все нумерации эквивалентны. Строим матрицу смежности, симметричную относительно диагонали, заполненной нулями. Для определённости оставим верхний треугольник, который выпишем построчно. Полученный двоичный код и есть имя тетраэдра, оно короче в десятичной системе: 111111 = 105 + 104 + 103 + 102 + 101+ 10° ^ 25 + 24 + 23 + 22 + 21+ 20 = 63. Ясно, что по нему тетраэдр восстанавливается однозначно: переводим имя из десятичной системы в двоичную, заполняем верхний треугольник матрицы смежности (снизу вверх), достраиваем её, рисуем по ней реберный граф. Заметим, что предложенная форма описания рассматривает полиэдр как многовершинник (полиакрон). Сколько имен у //-вершинника? Для полиэдра с большим числом вершин при их различных нумерациях получаются различные матрицы смежности и имена. Для 5-вершинников возможны 5! = 120 нумераций вершин. Но 4-гранная пирамида имеет точечную группу симметрии 4mm с порядком группы автоморфизмов 8. Поэтому неэквивалентных нумераций вершин и имен у неё будет 120 : 8 = 15 (рис. 2). Для 3-гональной бипирамиды (второй возможный 5-вершинник, точечная группа симметрии -6m2, порядок группы автоморфизмов 12) число имен равно 120 : 12 = 10. Приведенное рассуждение обобщается: у n-вершинника n ! /p имен, где р - порядок группы автоморфизмов. (Для рассмотренного выше тетраэдра с точечной группой симметрии -43m получим: n ! / p = 4! / 24 = 1 - единственное имя). ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 1/2016(24) 39