Вестник Кольского научного центра РАН. 2016, №1.

НАУКИ О ЗЕМЛЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ УДК 548.12 УПОРЯДОЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИЭДРОВ Ю. Л. Войтеховский ФГБУН Геологический институт КНЦ РАН Аннотация Предложен способ именования любого выпуклого полиэдра в виде числа-кода, по которому он восстанавливается однозначно. По именам многообразие выпуклых полиэдров строго упорядочивается. Установлены некоторые соотношения между именами и традиционными характеристиками выпуклых полиэдров, например, порядком группы автоморфизмов. Ключевые слова: выпуклые полиэдры, асимметрия, порядок группы автоморфизмов, упорядочение. ORDERING OF CONVEX POLYHEDRA Yury L. Voytekhovsky Geological Institute of the KSC of the RAS Abstract The method to name any convex polyhedron by the numerical code is suggested in the paper. A polyhedron is uniquely fixed and can be built by its name. The variety of convex polyhedra is strictly ordered by their names. Some relationships between the names of convex polyhedra and their traditional characteristics, e.g. automorphism group orders, are found. Keywords: convex polyhedra, asymmetry, automorphism group order, ordering. Введение В работах [1-10] перечислены все комбинаторные типы выпуклых 4- ... -12-эдров и простых (в каждой вершине сходятся ровно 3 13- ... -16-эдров. Каждый тип охарактеризован не только порядком группы автоморфизмов (т. е. числом переименований вершин, сохраняющих их смежность), но и точечной группой симметрии, что делает результаты применимыми в кристаллографии. При этом установлен ряд обескураживающих фактов. Во-первых, подавляющее большинство (99.5 % для 16-эдров) форм комбинаторно асимметричны, т. е. относятся к примитивному виду симметрии триклинной сингонии. С ростом n «почти все» n-эдры комбинаторно асимметричны. Это перекликается с недавно отмеченной А. П. Хомяковым «кубо- триклинной инверсией» в открытии новых минеральных видов и, возможно, фиксирует соответствие природных кристаллических полиэдров фундаментальной характеристике евклидова пространства. Во-вторых, указанием набора граней и точечной группы симметрии комбинаторный тип полиэдра в общем случае не фиксируется. Его лучшим описанием остаётся изображение, например, в проекции на одну из граней [1, 2]. Изложенное ставит задачу однозначного и конструктивного описания любого выпуклого полиэдра, позволяющего по имени восстановить его комбинаторный тип. А поскольку асимптотически «почти все» они комбинаторно асимметричны, то речь идет о позитивном (без отрицающего «а») определении свойства, называемого асимметричностью. АЛ 38 ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 1/2016(24)