Вестник Кольского научного центра РАН. 2011, №3.

Методика решения прямой задачи распространения электромагнитного поля в трехмерной неоднородной среде В отличие от работы [1], где для моделирования использовался метод интегральных уравнений, в данной работе используется метод сеточной аппроксимации уравнений для векторного и скалярного потенциалов электромагнитного поля, изложенный в статье [4]. В этой работе традиционно электрические и магнитные поля представлены в виде суммы нормального поля Е 0, Н 0, обусловленного сторонним током J, и аномального Е, Н, связанного с избыточной проводимостью Аа в некоторых ограниченных областях среды. Для аномального электрического поля вводятся векторный А и скалярный ф потенциалы. E = A + V y (1) Для однозначного определения векторного потенциала используется калибровка Кулона. V • А = 0 (2) Подставляя выражение (1) в уравнение Гельмгольца для аномального электрического поля, авторы после некоторых преобразований получают исходную систему дифференциальных уравнений для векторного А и скалярного ф потенциалов: V2 A +тцо ( A + Vy) = - SE V • (pA) + V • (PVy) =-(iaju) - V • SE где S E = ia /u ( p - p 0) E 0 , а-а0 - избыточная проводимость среды, f - магнитная проницаемость среды, ш - частота поля. Данная система дифференциальных уравнений удобна тем, что после сеточной аппроксимации мы получим систему линейных уравнений с ленточной матрицей, которая будет обладать свойством сильной диагональной доминантности, что значительно упростит решение системы. В качестве граничных условий для векторного и скалярного потенциалов выбраны условия Дирихле на границе области моделирования SQ: А = 0 5П (4) т\ = 0 ‘ \SD Для сеточной аппроксимации системы уравнений (3) вводится трехмерная прямоугольная сетка, в узлах которой и будут определяться искомые значения трех компонент векторного потенциала А и скалярного потенциала ф. Чтобы удовлетворить граничным условиям Дирихле (4), линейные размеры ячеек увеличиваются по определенному правилу по мере удаления от источников аномального поля - ограниченных областей с избыточной проводимостью. Трехмерная сетка разбивает пространство моделирования на ячейки - параллелепипеды, каждой из которых приписывается свое значение проводимости ai-1/2,j-1/ 2,k-1/2 и значение избыточной проводимости Aai-1/2j- i/ 2 ,k-i /2 , если эта ячейка относится к аномальной области. Интегрируя уравнения (3) по элементарным объемам V j вокруг узлов данной сетки и аппроксимируя дифференциальные операторы разностными, можно получить линейную систему уравнений для значений компонент векторного потенциала А , :к(1) , l=(x,y,zj и скалярного потенциала ф^к в узлах сетки. Матрица полученной таким образом системы линейных уравнений будет иметь ленточную форму и являться диагонально доминантной. Точные выражения для элементов этой матрицы приведены в статье [4]. Для решения систем линейных уравнений с диагонально доминантной матрицей удобно применять итерационный метод Зейделя: x k+1 = B -1( Р - C x k ) (5), k где х - итерация порядка k искомого решения - вектора значений компонент векторного потенциала Ац,к1> и скалярного потенциала ф^?к в узлах сетки, F - правая часть системы линейных уравнений, определяемая источниками аномального поля, В - нижняя треугольная матрица с доминантной диагональю, С - верхняя треугольная матрица с нулевой диагональю, такие что их сумма В+С=А дает исходную матрицу линейной системы уравнений. Итерации продолжаются, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений. Значения аномального магнитного поля Н определяются векторным потенциалом А: Н = ( ia ju ) ^ 1 V x A (6) 54