Вестник МГТУ. 2016, №4.

Вестник МГТУ. 2016. Т. 19, № 4. С. 767–773. DOI: 10.21443/1560-9278-2016-4-767-773 769 где 1[ ω – ω 0 ) – смещенная единичная ступенчатая функция, равная нулю при ω < ω 0 и равная единице при ω ≥ ω 0 . Таким образом, поставленная задача по оценке вероятности события вида ω ≥ ω 0 может быть сведена к отысканию максимума функционала (4) при выполнении условий (1) и (2). Эта задача может быть сведена к задаче определения максимума для функционала 0 1 0 0 0 1[ ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) l i i i I f d f d f d ∞ ∞ ∞ λ = = ω − ω ω ω + λ ϕ ω ω ω = Ψ ω λ ω ω ∑ ∫ ∫ ∫ (5) при ограничениях (2) и заданных коэффициентах Лагранжа λ i , i = 1, l . Кроме того, в принятом функционале функция ψ ( ω 0 , λ ) определяется так: 0 1 ( , ) 1[ ) ( ). l i i i = Ψ ω λ = ω − ω + λ ϕ ω ∑ Максимуму функционала (5) соответствует функция f 0 ( ω , λ ), удовлетворяющая при каждом ω условию max [ ψ ( ω , λ ) f ( ω )] = ψ ( ω , λ ) f 0 ( ω , λ ). (6) Условие (6) имеет конечное или бесконечное число решений, если ψ ( ω , λ ) ≠ 0, а в особых случаях, когда ψ ( ω , λ ) = 0, уравнение (6) решения не имеет. Определив функцию f 0 ( ω , λ ) и значение λ 0 параметра λ , удовлетворяющего условию (1), можно записать решение поставленной задачи следующим образом: 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( , ), ( ) ( ) . f f P f d ∞ ω = ω λ ω ≥ ω = ω ω ∫ Таким образом, процедура предлагаемого метода определения максимума Ρ ( ω ≥ ω 0 ) и соответствующей этому максимуму функции f 0 ( ω ) позволит оценить вероятность свойства доминирования текущего риска над величиной приемлемого риска и упростить процедуры управления состоянием мореплавания и эксплуатацией судна в целом [8]. Оценка величины текущего навигационного риска по заданной величине приемлемого риска Как следует из общего описания метода определения максимума Ρ ( ω ≥ ω 0 ), функция f 0 ( ω ) существенно зависит от исходных условий (1), (2). Для получения практических оценок примем, что случайная величина риска ω ∈ Ω обладает математическим ожиданием m . Наличие математического ожидания на множестве рисков Ω позволяет конкретизировать условия (1) и (2), представив их так: ϕ 1 ( ω ) ≡ 1, m 1 = 1, ϕ 2 ( ω ) = ω , m 2 = m , l = 2, f ( ω ) ≥ 0; (7) 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) , f d m f d m ∞ ∞ ϕ ω ω ω = ϕ ω ω ω = ∫ ∫ (8) Для уточненных начальных условий функционал (5) можно записать 0 1 2 0 {1[ ) } ( ) . I f d ∞ λ = ω −ω + λ + λ ω ω ω ∫ В связи с тем что условие (7) не ограничивает функцию сверху, эта функция может принимать бесконечные значения. Из первого уравнения (8) следует, что f ( ω ) не может принимать бесконечные значения на множестве значений ω положительной меры. Следовательно, значение параметров λ 1 , λ 2 , при которых функция ψ ( ω , λ ) = 1[ ω – ω 0 ) + λ 1 + λ 2 ω положительна на множестве значений ω положительной меры, рассматривать не нужно. Значения параметров λ 1 , λ 2 , при которых функция ψ ( ω , λ ) отрицательна на 0 ≤ ω < ∞ , также не следует рассматривать, так как в этом случае из условия (6) следует f 0 ( ω , λ ) = 0, а это противоречит условию (8). Значит, следует рассматривать только значения λ 1 = 0, λ 2 = –1/ ω 0 , при которых функция f 0 ( ω , λ ) равна нулю при всех значениях ω , кроме двух: ω = 0 и ω = ω 0 . В этих точках функция f 0 ( ω , λ ) не определяется условием (6). Учитывая условие (7), принимаем функцию f 0 в виде f 0 ( ω , ν ) = ν 1 δ ( ω ) + ν 2 δ ( ω – ω 0 ),