Вестник МГТУ. 2017, №4.

Тагиев Т. Г. и др. Механизм выбора решений… 692 где и T = ( и 1 , ..., и п ) ≥ 0 Т , n – мерный вектор вещественных чисел размерности вектора-функционала F (δ), 0 – вектор, состоящий из одних нулей, а ( и , F ) – скалярное произведение векторов и и F. По определению пара {δ c , u c } является седловой точкой функционала φ(δ, u ) в области {δ ∈ ∆, u ≥ 0}, если φ(δ, u c ) ≤ φ(δ c , u c ) ≤ φ(δ c , u ) (3) для всех δ ∈ ∆ и и ≥ 0 . Тогда необходимым и достаточным условием оптимальности решающей функции δ'( х ) = { 0 ′δ ( х ), ..., δ' M ( x )} по критерию (1) можно считать такой вектор и с , при котором пара {δ', и с } является седловой точкой функционала φ(δ, u ) в области {δ ∈ ∆, u ≥ 0}, и кроме того выполняется условие ( u c , F (δ')) = 0. Для нахождения отдельной компоненты эффективной решающей функции во всех функционалах, фигурирующих в выражении (1), оставим только компоненты, связанные с функцией δ i ( x ) для некоторого значения i ∈ [1, М ] . Тогда придем к следующей задаче: найти функцию ( ), i i x ∗ ∗ δ = δ такую что Р i ( i ∗ δ ) = max Р i (δ i ) | P* (δ i ) ≤ ai , (4) где P i (δ i ) = P ii (δ) – вероятность принятия правильного решения γ i , относительно случайных величин i -го класса и определяемая при i = j ; 0 T P (δ) = { P 1 (δ i ), ..., Р м (δ i )} – вектор вероятностей принятия ошибочных решений γ i ; 0 T i a = { а i 1 ,..., a iM } – соответствующие ограничения. Например, a ij могут быть ограничениями на вероятность ошибочного решения γ i относительно случайных величин j -го класса при i ≠ j . Положим далее, что P (δ) = P i (δ i ), a F (δ) = a 0 i – Р 0 (δ). В таком случае можно считать, что функция i ∗ δ будет решением (4) тогда и только тогда, когда существует вектор c i u , такой что пара { , i ∗ δ c i u } – седловая точка функционала φ i (δ i , и i ) = P i (δ i ) + ( u i , a 0 i – P 0 (δ i )) (5) в области {δ i ∈ [0, 1], u i ≥ 0} и при этом выполняется условие ( c i u , a 0 i – Р 0 ( i ∗ δ )) = 0. (6) Если далее учитывать, что {δ i , c i u } – седловая точка функционала (5), то по определению (3) найдем φ i (δ i , c i u ) ≤ φ i ( , i ∗ δ c i u ) ≤ φ i ( , i ∗ δ и i ) для всех δ i ∈ [0, 1], u i ≥ 0. Тогда левое неравенство дает возможность записать выражение вида max i δ φ i (δ i , c i u ) = φ i ( , i ∗ δ c i u ). Представим функционал φ i (δ i , c i u ) в скалярной форме так, что φ i (δ i , c i u ) = (δ i , L i ) + 1 , M ij ij i u a = ∑ (7) где (δ i , L i ) = ( ) i X x δ ∫ L i ( x , c i u ) dx скалярное произведение функций δ i ( x ), L i ( x ). Тогда отношение (7) эквивалентно следующему равенству: φ i ( , i ∗ δ c i u ) = max{(δ i , L i )} + ' 1 , M c ij ij i u a = ∑ где штрихом обозначено суммирование по i ≠ j . Учитывая линейность функционала, подлежащего максимизации по δ i , видим, что максимальное значение выражения, стоящего в фигурных скобках, зависит от знака функционала L i ( x ) так, что если L i ( x ) > 0, то i ∗ δ = 1, а если L i ( x ) < 0, то i ∗ δ = 0.