Вестник МГТУ. 2017, том 20, № 3.

Пеленко В. В. и др. Математическое моделирование и расчет конструктивных параметров… 558 Угол подъема винтовой линии шнека φ определяется отношением шага винтовой линии h к длине развернутой окружности основания образующего цилиндра: tg . 2 h r ϕ = π (2) Далее обозначим k = tg ϕ . Как известно [8], параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид трех функциональных зависимостей соответствующих координат x , y , z от параметра t x = x ( t ); y = y ( t ); z = kt . (3) С учетом выражения для параметра t эти уравнения примут форму x = r cos α ; y = r sin α ; z = kr α . (4) При этом длина отрезка винтовой линии при развертке отрезка дуги образующей окружности основания от a до b определяется соотношением 2 2 2 [ ( )] [ ( )] [ ( )] b a S x t y t z t dt ′ ′ ′ = + + ∫ (5) или 2 2 2 0 ( sin ) ( cos ) ( ) . S r r kr r k d α ′ = − α + α + + α α ∫ (6) A. Для винтовой линии постоянного шага ( k = const) длина одного витка шнека составит величину [8] 2 2 2 2 1 0 ( sin ) ( cos ) ( ) . S r r kr d π = − α + α + α ∫ (7) После интегрирования получим 2 1 2 1 . S r k = π + (8) Статистический анализ формы более 150 вариантов шнеков волчков показывает, что угол ϕ составляет от 30 до 60 ° , поэтому k изменяется в пределах от 3 3 до 3 , таким образом, длина одного витка винтовой линии находится в диапазоне: S 1 = 2 π r × x (1,15 ÷ 2,0). Для витков расчетная длина винтовой линии эффективного шнека постоянного шага (с учетом требования обеспечения достаточного давления мясного сырья в зоне резания) составит величину S = 2,0 × × 2 π r . (9) Обычно количество витков шнека волчка находится в пределах 3–6 [7–12]. Для бытовых мясорубок количество витков составляет от 2,5 до 4. Б. Для винтовой линии с переменным шагом постоянство тангенса угла наклона не выполняется, k = υ ar , и для расчета ее длины требуется знание закона изменения k = k ( ϕ ( α )) = k ( α ). Учитывая зависимость ϕ = ϕ ( t ), а также t = t ( α ) = r ⋅ α , получим необходимую зависимость k = k ( α ). Как было отмечено, из анализа более 150 моделей волчков от разных производителей следует, что величина ϕ Н изменяется в диапазоне 0,5 ÷ 1,0 рад в начальной части шнека. Угол наклона винтовой линии в конечной части шнека ϕ k является наиболее ответственным и характеристическим параметром с точки зрения эффективности работы волчка, так как определяет давление мясного сырья в зоне резания. Этот угол составляет, как правило, от 5 до 15 ° , т. е. от 0,08 до 0,25 рад. Таким образом, задача корректного описания закона изменения угла наклона винтовой линии по ее длине является в данном случае ключевой для определения зависимости k = k ( α ). При изложенных предпосылках для ϕ н и ϕ k , а также учитывая, что с перемещением от загрузочной горловины волчка к выходной решетке уменьшение шага винта шнека должно происходить с уменьшающейся скоростью, следует, что зависимость ϕ = ϕ ( α ) должна быть нелинейной. Линеаризация этой зависимости позволит увеличить скорость нарастания давления в зоне резания и укоротить длину корпуса волчка [9; 10]. Таким образом, можно принять ϕ = ϕ 0 – mr α , (10) где m – коэффициент пропорциональности; ϕ 0 – начальное значение угла наклона винтовой линии шнека.