Вестник МГТУ. 2017, том 20, № 3.

Вестник МГТУ. 2017. Т. 20, № 3. С. 533–540. DOI: 10.21443/1560-9278-2017-20-3-533-540 537 Эта функция напряжений удовлетворяет уравнению равновесия при любых значениях k . Если считать, что k меняется в некоторой области, мы можем предположить, что b 1 зависит от k и от приращения dk , и записать b 1 = f ( k ) dk . Подставляя это выражение в формулу (16) и складывая все полученные таким образом функции напряжений, получаем более общую функцию напряжений в форме 0 1 0 [ ( ) ( )] ( ) cos . I kr krI kr f k kzdk ∞ ϕ = ρ − ∫ (17) Убедимся теперь, что можно выбрать функцию f ( k ) таким образом, чтобы рассматриваемая функция напряжений дала решение нашей задачи [6]. Результаты и обсуждение Из развиваемых выше соображений и полученных формул непосредственно вытекает соотношение для касательного напряжения в виде ' 2 ' ' 2 0 1 1 0 0 [ ( ) ( ) ( ) 2 (1 ) ( )] ( ) cos , rz kI kr k rI kr kI kr k I kr k f k kzdk ∞ τ = ρ − − − − ν ∫ где штрих обозначает дифференцирование. Это соотношение оказывается равно нулю на поверхности r = a . Пусть выражение в скобках при r = a тоже равно нулю, тогда запишем уравнение для ρ в виде 0 1 ( ) 2(1 ) ( ) I ka ka I ka ρ = − ν + . (18) Здесь граничные условия имеют вид при , 0, 2 при , 0. 2 r r p r a z p r a z σ = = > σ = − = < (19) Значение σ r , выраженное из (17) для выше полученных зависимостей, примет вид 3 0 1 0 (1 2 ) ( ) ( ) ( ) sin . r I kr kr I kr k f k kzdk kr ∞  ρ    σ = − − ν − ρ + +         ∫ (20) Вспомним теперь известную формулу 0 при 0, 2 sin 0 при 0, при 0. 2 z kz dk z k z ∞ π >   = =   π − <  ∫ (21) Умножив эти соотношения на p / π , получим 0 при 0, 2 sin 0 при 0, при 0, 2 p z p kz dk z k p z ∞  >   = =  π  − <  ∫ (22) здесь значения справа представляют собой граничные величины для σ r , определяемые формулами (21). Таким образом, выражение (20) удовлетворяется, если сделать правую часть уравнения (19) при r = a тождественно равной левой части приведенного ранее соотношения [7–8]. Это необходимо для выполнения условия 3 0 1 1 (1 2 ) ( ) ( ) ( ) . p I ka ka I ka k f k ka k  ρ    − − ν − ρ + + =     π     (23)