Вестник МГТУ. 2017, том 20, № 3.

Вестник МГТУ. 2017. Т. 20, № 3. С. 533–540. DOI: 10.21443/1560-9278-2017-20-3-533-540 535 Учитываем ранее полученное решение уравнения (3) в виде J 0 ( ikr ). Дополнительно запишем, что f 1 ( r ) в свою очередь удовлетворяет уравнению 2 2 2 1 d d k r dr dr   + −     2 2 1 1 1 2 1 0 d f df k f r dr dr   + − =     и является его решением. Окончательно решение уравнения удобно записать в виде ϕ 2 = a 1 sin kz ( ikr ) J 1 ( ikr ). (9) Объединяя полученные решения (6) и (9), найдем функцию напряжений в следующей записи ϕ = sin kz [ a 0 J 0 ( ikr ) + a 1 ( ikr ) J 1 ( ikr )]. (10) Такая функция напряжений, подставленная в ранее записанные уравнения, позволяет найти зависимости для компонент напряжений σ r = cos kz [ a 0 F 1 ( r ) + a 1 F 2 ( r )], τ rz = sin kz [ a 0 F 3 ( r ) + a 1 F 4 ( r )], (11) где F 1 ( r ),… F 4 ( r ) – аналитические функции от r , содержащие J 0 ( ikr ) и J 1 ( ikr ). Применяя значения бесселевых функций из соответствующих таблиц, можно получать значения F 1 ( r ),… F 4 ( r ) для каждого r . Обозначая a наружный радиус цилиндра, можно определить силы, приложенные к его поверхности, в виде следующих значений компонент напряжений σ r = cos kz [ a 0 F 1 ( a ) + a 1 F 2 ( a )], τ rz = sin kz [ a 0 F 3 ( a ) + a 1 F 4 ( a )]. (12) Подбирая значения постоянных k , a 0 , a 1 , легко исследовать наиболее характерные случаи симметричного нагружения цилиндра. Обозначим длину цилиндра через I и примем , n k l π = a 0 F 1 ( a ) + a 1 F 2 ( a ) = – A n , a 0 F 3 ( a ) + a 1 F 4 ( a ) = 0. Получаем значения постоянных a 0 и a 1 для случая, когда к боковой поверхности цилиндра приложено гармоническое нормальное давление A n cos( n π z / I ). Случай, когда n = 1, представлен на рис. 2. Таким же образом можно получить решение, когда вдоль поверхности цилиндра приложены касательные усилия величиной B n sin( n π z / I ). Зададим значения n = 1, 2, 3… и получим, применяя принцип суперпозиции, решения задач, в которых давление нормальное поверхности цилиндра имеет такое распределение: 1 2 3 2 3 cos cos cos ..., z z z A A A l l l π π π + + + (13) при этом для касательных напряжений можно записать ряд в виде 1 2 3 2 2 sin sin sin ... z z z B B B l l l π π π + + + . (14) Если для функции напряжений ϕ вместо выражения (2) подставить соотношение ϕ = f ( r )cos kz и следовать прежней логике, то вместо ранее полученного выражения получим функцию напряжений в другом виде ϕ = cos kz [ b 0 J 0 ( ikr ) + b 1 ( ikr ) J 1 ( ikr )]. (15) Определенным выбором постоянных величин k , b 0 , b 1 можно добиться того, что решения для случая нормального давления, действующего на цилиндр, представляются рядом по синусам, а для касательных усилий – рядом по косинусам. Комбинируя различные решения, при необходимости можно получить любое осесимметричное распределение нормальных и касательных усилий по поверхности цилиндра. В то же время можно учитывать действующие усилия, распределенные по концам цилиндра [2; 3]. Накладывая простое растяжение или сжатие, мы всегда можем принципом суперпозиции получить результирующие этих усилий равными нулю, и в соответствии с принципом Сен-Венана их влиянием на распределение напряжений вдали от концов пренебречь [4]. Такие задачи при симметричном нагружении цилиндров решил Файлон. Конечные результаты его решения для случая, показанного на рис. 3, приведены ниже. Цилиндр, длина которого равна π a , подвергается растяжению касательными усилиями, равномерно распределенными по указанным на рисунке частям поверхности. Представляет практический интерес