Вестник МГТУ. 2017, том 20, № 3.

Алексеев Г. В. и др. Оценка работоспособности новых рабочих органов… 534 варьируемыми величинами в которой являются текущий радиус и центральный угол. Условия равновесия в этом случае удовлетворяются решением уравнения Пуассона 2 2 2 2 1 0 r r r z ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ + + = ∂ ∂ ∂ (1) в виде ϕ = f ( r )sin kz , (2) где f принимает значения при изменении только r . После подстановки последней в выражение (1) для выражения f ( r ) получим дифференциальное уравнение второго порядка 2 2 2 1 0. d f df k f r dr dr + − = (3) Для выражения решения этого уравнения применяют модифицированные функции Бесселя нулевого порядка разного рода, первого или второго, с аргументом kr . Для сплошного цилиндра тогда можно записать решение такого типа f ( r ) = a 0 + a 1 r 2 + a 2 r 2 + a 3 r 3 + … . (4) Подставляя записанное соотношение в уравнение (3), получим довольно простые выражения для последовательных коэффициентов ряда (2 n ) 2 a n – k 2 a n – 1 = 0, или в другом виде 2 1 0 2 ; 2 k a a = 2 4 2 1 0 2 2 2 . 4 2 4 k k a a a = = ⋅ Если подставить полученные соотношения в формулу (4), то получим 2 2 4 4 6 6 0 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ... . 2 2 4 2 4 6 k r k r k r f r a   = + + + +   ⋅ ⋅ ⋅   (5) В скобках в полученном соотношении оказывается выраженной функция Бесселя нулевого порядка от аргумента ikr . Она часто обозначается как I 0 ( kr ). Ниже, по ходу изложения, будем использовать обозначение J 0 ( ikr ) и приводить ее в таком виде ϕ 1 = a 0 J 0 ( ikr )sin kz . (6) Дополнительные решения несколько отличаются от полученных решений уравнения (1). Например такое решение получают из записанной выше функции I 0 ( ikr ) продифференцированием с получением выражения 2 2 4 4 6 6 0 2 2 2 ( ) 1 ... . ( ) 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 dJ ikr ikr k r k r k r d ikr   = − + + + +   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   (7) Когда эту производную записывают с отрицательным знаком, то получают функцию Бесселя первого порядка, обозначаемую как J 1 ( ikr ). При дальнейших выкладках будем рассматривать функцию 2 2 2 2 4 4 1 0 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ... . 2 2 4 2 4 6 d k r k r k r f r r J ikr ikrJ ikr dr   = = − = + + + +   ⋅ ⋅ ⋅   (8) После дифференцирования получим, что 2 2 2 1 0 2 1 ( ) 2 ( ). d d k f r k J ikr r dr dr   + − =    