Вестник МГТУ. 2015, №4.

Данилов Ю. А., Ермаков С. В. Математическое обоснование параметров… 616 При этом угол γ будет связан с параметром t следующим образом: ( ) ( ) sin ψ sin tg sin ψ γ arctg arctg arctg arctg . cos ψ 1 cos ψ 1 tg cos ψ y x y y y t x x y y x t ′ = = = = ′ + + + (10) И наоборот: ( ) arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ . t = −     (11) Очевидно, что при ψ = 90º имеем t = γ. Используя последнее выражение, в формулах (8) и (9) можно перейти от абстрактного параметра t к параметру γ, который является не чем иным, как мгновенным значением угла места трала в горизонтальной плоскости, или курсовым углом трала (точнее, его дополнением до 180 ° ): ( ) { } ( ) { } ( ) ln tg 0,5arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ cos arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ , x l ′ = − + −         (12) ( ) { } sin arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ , y l ′ = −     (13) ( ) { } ( ) { } ( ) { } 1 ln tg arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ cos arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ 2 , sin arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ cos ψ x l   − + − +           =     + −       (14) ( ) { } sin arctg tgγ sin ψ tgγ cos ψ sin ψ. y l = −     (15) Максимальное отклонение траектории трала от траектории движения судна по оси каньона будет наблюдаться в точке трактрисы, для которой абсолютные величины абсциссы и ординаты в криволинейной системе координат равны (рис. 7). Для определения величины параметра t , при котором последнее условие равенства выполняется, необходимо приравнять правые части уравнений (6) и (7), учитывая при этом, что абсциссы и ординаты левой ветви трактрисы отличаются знаком. Рис. 7. К расчету величины отклонения траектории трала от траектории судна (от оси каньона) В итоге получим ln tg cos sin . 2 t t t + = − (16) Находим решение этого уравнения: t кр = 28,8 ° . Тогда по формуле (9) можно определить значение b максимального отклонения трала от оси каньона: sin 22,8 sin ψ 0,388 sin ψ. b l l = ° ≈ (17) Таким образом, при повороте судна с тралом в каньоне (при условии следования судна по оси каньона) со стороны поворота каньон должен иметь запас по ширине, определяемый формулой (17), или y ′ y , x x ′ ψ О b y ′ b x ′ b b