Вестник МГТУ. 2015, №4.

Бражный А. И. Навигационная безопасность плавания каравана… 602 где A i – коэффициенты сноса; B ij – коэффициенты диффузии, определяемые для уравнения (2) по формулам: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 1 1 , 1 , , , , 2 n n ir i pq pq ij j p q r j p B y t A a y t G t B y t B y t m t y = = ∂ = + + ∂ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) , , 1 , , . n ij pq iq jq p q r B G t B y t B y t = = ∂ ∑ При рассмотрении уравнения (2) как уравнения сохранения вероятности, при котором количество вероятности, проходящей в положительном направлении за единицу времени, описывается потоком π i , предположим, что переход каравана из безопасного навигационного состояния в опасное определяется моментом его пересечения границ сфероида q S δ , где происходит процесс поглощения [3]. Данное предположение подтверждается интегрированием уравнения (2) при соблюдении заданных граничных условий, вытекающих из физического смысла обеспечения безопасной навигации. В связи с этим целесообразно наделить границу сфероида q S δ функцией поглощения v * ( y , t ) [4], [5]. При этом поглощение состояний навигации буксирного каравана описывается обобщенным уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова: ( ) ( ) ( ) * * * , , , , y t div y t v y t t ∂ω = − π − ∂ (3) где ω * ( y , t ) – функция плотности вероятности непоглощенных состояний, связанных с событием вида x ( t , x 0 , ε) – x' ( t , x 0 , ε) < Σ ; π * ( y , t ) – вектор плотности потока вероятности с компонентами ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 , , 1 , , , , 2 n ij i i i B y t y t y t A y t y t y =   ∂ ω   π = ω + ∂ ∑ здесь v * ( y , t ) – плотность поглощения вероятности (функция поглощения), соответствующая событию x ( t , x 0 , ε) – x' ( t , x 0 , ε) ≥ Σ [4]. Плотность вероятности определяется условиями поглощения и в области изменения фазовых координат характеризуется функцией поглощения v * ( y , t ) [5]. Допустим, что процесс поглощения протекает на поверхности сфероида и описывается уравнением ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 1 , , , v y t a y t c t n y t = δ − γ π (4) где α( y ) – γ( t ) – параметрическое уравнение гиперповерхности сфероида, определяющегося границей фазовой области W ; δ – дельта-функция; n 0 – внешняя нормаль к поверхности сфероида q S δ ; c 1 ( t ) – коэффициент полноты поглощения [4], [5]. Введение уравнений поглощения позволяет найти решение уравнения (3) для всей области фазового пространства системы (1) при начальном условии ω * ( y , t ) = f ( y 0 ) и нулевых граничных условиях для y i = ± ∞ ( i = 1, …, n ). В этом случае функция ω * ( y , t ) не является нормированной за счет существования эффекта поглощения. Интеграл от этой функции по всей поверхности области фазового пространства W дает возможность определить текущую вероятность нахождения буксирного каравана в безопасном состоянии, т. е. ( ) ( ) * 1 , 1, P t y t dy ∞ −∞ = ω ≤ ∫ при этом для t = t 0 значение P 1 ( t 0 ) = 1. Тогда текущая вероятность перехода навигационного процесса буксирного каравана в опасное состояние с максимальным количеством рисков рассчитывается по формуле ( ) ( ) * 0 1 , . P t y t dy ∞ −∞ = − ω ∫ Для определения значений функции P 1 ( t ) составим дифференциальное уравнение ее изменений. Проинтегрировав уравнение (3) по всей бесконечной области существования вектора Y , получим ( ) ( ) * * 1 , P t v y t dy ∞ −∞ = − ∫ , (5) так как ( ) , 0 div y t dy ∞ −∞ π = ∫ .