Вестник МГТУ. 2015, №1.

Другое решение требует определения для матрицыЛ псевдообратной матрицы Арр (рис. 4). Агарков С.Л., Пашенцев С.В. Параметрическая идентификация... ' 117J93 ' ' 291 ' 1.409 11 - - 1 -Г AjBf. ” А1 А' АТ -137.677 -133 X - 5.571 х 10J .!■ - 6815 ДЕ ■ Арр В -3 S.4S х 10 0.0285 . -0 02 0.114, Рис. 4. Решение переопределенной системы с помощью псевдообратной матрицы Арр Решения А) и А' получились совершенно одинаковыми, значит, функция lsolve использует псевдообратную матрицу. На рис. 4 приведен также вектор параметров, которые послужили базой для получения опытных данных в модели Номото. Наконец, можно максимально переопределить задачу и использовать весь комплекс измерений кинематических параметров с номерами от 1 до 500 (500 с - длительность эксперимента, рис. 1). В данном случае естественно применить метод наименьших квадратов (МНК) и получить матрицу А при искомых параметрах и вектор правой части В. Для нашей системы уравнений формальное применение МНК состоит в умножении уравнения (6) в точке с номером к последовательно на со”, со', со|со|, со3, 5, 5', вычисленные также в точке с номером к, затем в сложении по всем экспериментальным точкам. Получим так называемую нормальную систему шести уравнений с шестью неизвестными, решение которой проводим обычным образом, демонстрируя его в виде фрагмента решения в среде MathCad (рис. 5). Чтобы отличить данное решение от предыдущих, введем обозначения: С - матрица системы; D - вектор свободных частей. Оба решения (прямое и полученное с помощью псевдообратной матрицы) практически совпадают. Как и ожидалось, результат ближе к параметрам модели, использованной для генерации экспериментальных данных. ' 240.345 ' ' 240.035 ' ( 291 ' р > (ст с) ст 8.177 8.176 11 -135.723 -136.03 -133 XJ = Срр D X I- 6.572 х 103 Х 2 - 6.583 х 103 >1 - 6815 Х2 := С- 1 D 0.023 0.023 0.0285 -0.037 , -0036 , ч 0.114, Рис. 5. Решение системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов 3. Выводы Предложен вариационный подход к решению задач параметрической идентификации математических моделей. При моделировании с учетом малого числа параметров такой подход способствует получению достаточно точных результатов (Yudin et al., 2014) и может быть использован для аппроксимации сложных движений набором простейших движений, модели которых легко идентифицируются. В настоящей статье такой подход был применен к модели с большим числом идентифицируемых параметров и дал вполне удовлетворительный по точности результат. Наилучший результат идентификации получен при использовании всех исходных данных модельного эксперимента, т.е. при двойном отборе идентифицируемых параметров - с помощью вариационного уравнения и метода наименьших квадратов. Литература Nomoto К., Taguchi Т., Honda К., Hirano S. On steering qualities of ships. JSP. 1957. N 35. P. 56-64. Yudin Yu., Pashentsev S., Petrov S. Using Pontryagin maximum principle for parametrical identification of ship maneuvering mathematical model. Transport Problems. 2014. V. 9, Issue 2. P. 11-18. Моисеев H.H. Численные методы синтеза оптимальных управлений. М., Наука, 1979. С. 443. Пашенцев С.В. Параметрическая идентификация маневренных характеристик по результатам испытаний типа "Зигзаг". Вестник МГТУ. 2010. Т. 13, № 4/1. С. 730-735. Соболев Г.В. Управляемость корабля и автоматизация судовождения. Л., Судостроение, 1976. С. 478. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969. С. 375. 10