Вестник МГТУ. 2015, №1.

Видин Ю.В., Казаков Р.В. Расчет распределения температуры... Обозначим W = dU dX ' (15) (16) - - (17) dX 2 +3Sk Интегрируя дифференциальное уравнение (17) с учетом условия (16) можно получить следующее аналитическое решение причем W= 0 приХ = 1. Для новой переменной W дифференциальное уравнение (14) запишется dW 8 - W - S k =Q. W = (2 +3Sk)Sk exp- 4 2Sk 2+3Sk ( l - x ) - l 8 exp- 4. 2Sk (18) ( l - x ) + l (2 + 3SC Формулу (18) также можно представить в более удобном виде через гиперболический тангенс (Бронштейн, Семендяев, 1965) w= j 2 +3S^Skth 2Sk 2 +3Sk (1 -^0 (19) Затем на основе выражения (15) легко установить зависимость для функции U (Бронштейн, Семендяев, 1965) ТТ 2 +3Sk, и =--------- In 8 ch. 8Sk 2 +3Sk (1 -^0 ch 8Sk (20) ' 2+3Sk Используя это решение, удается окончательно установить нижнюю границу для искомого температурного поля рассматриваемого тела 1 , 3(2 +3Sk) 1+—-------- -In 8 ch^ &Sk 2 +3Sk J “ (1 -70 _ \ 2 +3Sk _ (21) Аналогичным образом находится верхняя граница для функции в = в (X). С этой целью уравнение (8) записывается в виде -5С = 0. d X 1 ( d X (22) т.е. фиктивный тепловой источник в стержне F(X) берется по максимально возможной величине. Интегрируя систему (22), (9-10) подобно тому, как это было изложено ранее, находится новое соотношение для переменной U U = — In 4 ch24Sk(3~X ) (23) ch2y[Sk Отсюда следует, что формула для расчета верхних граничных значений искомого распределения температуры будет иметь вид 1 1+-1п 4 ch2\l~Sk (24) ch2yfSk(l-X ) Проведение практических расчетов по зависимостям (21) и (24) не представляет затруднений, так как гиперболические функции подробно затабулированы (Сегал, Семендяев, 1962). В таблице представлены результаты вычислений безразмерной температуры в сечении X = 0,5 и Х= 1 для чисел Старка Sk = 0,1; 0,5; 1,0. 132