Вестник МГТУ. 2015, №1.

ВестникМГТУ, том 18, № 1, 2015 г. стр. 130-133 2. Результаты исследований Целесообразно систему (1-3) привести к безразмерному виду. Т х <зР12 Если ввести безразмерные комплексы 9 = — ; X =—; Sk =------ 7,’f , где Sk - число Старка, то V Т с система (1-3) преобразуется к виду d2& dX2 9 = 1 приX = О, — = 0 приX = 1. dX =SkrX (4) (5) (6) Так как дифференциальное уравнение (4) является существенно нелинейным, получить его строгое аналитическое решение весьма затруднительно. Поэтому целесообразно применить к задаче (4-5) наиболее эффективный приближенный аналитический подход. Для ослабления нелинейности в уравнении (4) может быть применен метод интегрального линейного преобразования, предложенный в работе (Видии, 1992). Для этого нужно ввести новую зависимую переменную, связанную с искомой температурой Q(X) соотношением £/= j ^ ? = | ( i - a - 3) . (?) 1 П 3 Тогда система (4-6) запишется следующим образом Л / +493 ДП dX2 \d X U= 0 приХ = О, dU п v 1 ----- = 0 приХ = 1. dX - S k =O, (8) (9) (Ю) dU Если в первом приближении функцией F (X ) = 49 I ---- I , входящей в уравнение (8) dX пренебречь, то нетрудно получить решение в форме U =SkX\ ( - 1 Отсюда с учетом (7) следует, что (11) (12) 9 = X 1+ ЗЖГ 1- Так как комплекс F (X ) = 4931 | является на отрезке (X = 0-1) положительной величиной, \ d X ) т.е. представляет собой некоторый условный дополнительный тепловой источник в стержне, то, очевидно, что выражение (12) дает заниженное значение искомого распределения температуры Q(X) при Л >0. Наименьшая величина безразмерной температуры ребра будет на его вершине (при Х= 1). Эта температура согласно (12) равна 9 = min 1 1+ -S& 2 (13) dU Если теперь в уравнение (8) подставить вместо комплекса F(X ) = 49 I ---- I приближенное dX значение F (X ) = 493 [ \d X . оно примет вид d2U dX 2 , 31+— Sk dU dX - S k =O. (14) 131