Вестник МГТУ. 2016, №1.1.

Вестник МГТУ, том 19, № 1/1, 2016 г. стр. 35–39 35 УДК 622.831 С. Н. Савченко Модель эволюции энергии в природно-технических системах S. N. Savchenko Energy evolution model in natural-engineering systems Аннотация. Рассмотрена взаимосвязь двух ведущих параметров динамической системы в процессе ее эволюции. Получено решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями для нескольких частных случаев изменяющихся во времени коэффициентов системы уравнений. Дана физическая трактовка рассматриваемых примеров. Установлено, что характер изменения ведущих параметров динамической системы зависит от вида функций-коэффициентов, входящих в систему дифференциальных уравнений. Abstract. Interrelation of two leading parameters of a dynamic system in evolution has been considered. The homogeneous system of first-order differential equations with two unknown functions has been solved for some special cases of time-varying equation coefficients. Physical interpretation of the examples considered has been presented. It has been determined that a character of change for the leading parameters of the dynamic system depends on the type of functions-coefficients composing the differential equation system. Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, параметры динамической системы, геологическая среда, энергия деформирования. Key words: system of differential equations, dynamic system parameters, geological environment, strain energy. Введение Состояние природно-технической системы (ПТС) определяется полной энергией системы. Здесь под понятием "состояние" понимается естественное состояние, к которому будет возвращаться система, освобожденная от внешних нагрузок. Изменение состояния описывается изменением полной энергии. Энергия любой ПТС с математической точки зрения не является линейной, ибо она содержит как элементы накопления, так и элементы ее диссипации, которые не обязаны быть линейными. Рассеивание энергии возникает в результате ее взаимодействия с потоком энергии другого природного происхождения. Например, рассеивание механической энергии происходит в результате ее взаимодействия с потоками тепловой, электрической, магнитной и других видов энергии [1]. Постановка задачи Пусть эволюция напряженно-деформированного состояния некоторого участка массива горных пород ПТС зависит от ее энергии деформирования, накапливается и диссипирует. Рассмотрим систему уравнений 1 1 2 2 ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) d S f t S dt dS S f t S dt  = ϕ − +    = ϕ − +  , (1) где – накопление энергии деформирования; S – диссипация; ( – S ) – полная энергия деформирования; φ 1 , φ 2 – некоторые функции времени t ; f 1 , f 2 – функции внешнего силового воздействия. Решение задачи, обсуждение результатов Вычтя из первого уравнения (1) второе, получим: 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) d S S f f dt − = ϕ − ϕ − + − . (2) Если обозначить ( ) , S W − = 1 2 ( ) , p ϕ − ϕ = 1 2 ( ) f f q − = , то (2) можно представить в виде: dW pW q dt = + . (3)