Вестник МГТУ. 2016, №1.1.

Вестник МГТУ, том 19, № 1/1, 2016 г. стр. 138–141 139 Определим классы фуллеренов, в которых все гексагоны имеют один тип. Таким типом могут быть только a или b , так как гексагоны неизбежно должны контактировать с пентагонами. Использование типа a порождает единственный фуллерен – бакибол С 60 . Тип b в одиночку на фуллерене наблюдаться не может по конструктивным соображениям (рис. 3). Таким образом, фуллерены с одним типом гексагонов представлены одним классом, состоящим из одного фуллерена – бакибола С 60 с гексагонами типа a . Рис. 3. Два гексагона типа b , примыкающие к пентагону, требуют для дальнейшего построения гексагон типа c (показан точкой) Аналогично определим классы фуллеренов, в которых могут присутствовать гексагоны двух типов. Очевидно, в каждой паре должен присутствовать тип a или b . Всего таких пар 7: ( a , b ), ( a , c ), ( a , d ), ( a , e ), ( b , c ), ( b , d ) и ( b , e ). Не все пары реализуемы. Обозначим число гексагонов первого типа f 1 , второго – f 2 . Каждый тип привносит, соответственно, q 1 и q 2 двойных полуребер (каждое двойное ребро одновременно принадлежит двум гексагонам). Всего на фуллерене С n есть ( n /2 – 10) гексагонов и n двойных полусвязей. Получим систему уравнений: 1 2 1 1 2 2 10; 2 . n f f q f q f n  + = −    + =  Решая ее, получим выражения для f 1 и f 2 : 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 10 2 ; 1 10 2 . q n q f q q q n q f q q    − +       = −      − +      =  −  Рассчитаем для каждой пары значения f 1 и f 2 . Числа q 1 и q 2 определим как числа двойных ребер на сторонах каждого типа гексагонов (рис. 2). Результаты показаны в таблице. Таблица Числа гексагонов для различных наборов из двух типов Пара q 1 q 2 f 1 f 2 ( a , b ) 3 2 20 n /2 – 30 ( a , c ) 3 2 20 n /2 – 30 ( a , d ) 3 1 n /4 + 5 n /4 – 15 ( a , e ) 3 0 n /3 n /6 – 10 ( b , c ) 2 2 – – ( b , d ) 2 1 n /2 + 10 –20 ( b , e ) 2 0 n /2 –10 Из таблицы видно, что три последних пары нереализуемы (число граней каждого типа должно быть конечным и неотрицательным). Пара ( a , c ) также нереализуема, т. к. гексагон типа c в данном наборе может быть смежен только с гексагонами того же типа (рис. 4). Рис. 4. Гексагон типа c в паре ( a , c ) может граничить только с гексагонами того же типа