Труды КНЦ (Технические науки вып. 7/2023(14))

Труды Кольского научного центра РАН. Серия: Технические науки. 2023. Т. 14, № 7. С. 26-34. Transactions of the Kola Science Centre of RAS. Series: Engineering Sciences. 2023. Vol. 14, No. 7. P. 26-34. кортежей элементов, но и как ДП или их объединения. Например, отношение, содержащее 2 кортежа (a, c) и (b, c), можно представить как ДП {a, b}x{c}. Поскольку ДП формируется из множеств, то в качестве значений атрибута используются не элементы его домена, а имена или обозначения (например, A 2 или {c, f } ) всех подмножеств домена. Множества с этими именами или обозначениями названы компонентами атрибута. Короче: компоненты — это произвольные подмножества домена атрибута. Было установлено, что усовершенствованную интерпретацию языка первого порядка можно выразить с помощью алгебры множеств. Но для этого потребовалось разработать и обосновать новую математическую структуру, получившую название алгебра кортежей [4, 9]. С алгеброй множеств ее связывает то, что в ней используются те же операции (дополнение, пересечение, объединение), те же отношения (равенства и включения) и те же законы (де Моргана, контрапозиции, транзитивности, непротиворечия и т. д.). Отличие только в том, что в ней используются не обычные множества, а сжатые структуры, которые можно с помощью определенных вычислений представить множествами n-местных кортежей элементов (т. е. традиционными n-местными отношениями). Эти структуры — объединения ДП множеств. Как выяснилось в процессе исследований, они вместе с их дополнениями являются интерпретациями основных типов формул математической логики. Объединение декартовых произведений, рассматриваемое как отдельная структура, ранее в математике не встречалось. Для нее не были известны алгоритмы операций (дополнение, пересечение, объединение), алгоритмы проверок включения одной структуры в другую и т. д. В некоторых публикациях, например, в [ 1 , 1 2 ] содержатся только алгоритмы отдельных операций для одиночных ДП (их пересечения и разности), а также алгоритм проверки включения одного ДП в другое. Исследования показали, что формулировку всех свойств ДП и их обоснования можно существенно упростить, если отказаться от общепринятых обозначений ДП (Dn, A x B x C и т. д.). Вместо этого предложено представлять ДП как кортежи компонент, при этом каждая компонента с помощью схемы отношения привязывается к определенному атрибуту. Краткие сведения об алгебре кортежей Алгебра кортежей (АК) — математическая система для моделирования и анализа многоместных отношений, основанная на свойствах ДП. Здесь приводятся уточненные по сравнению с работой [4] определения основных структур АК. Структуры АК называются АК-объектами . Каждый АК-объект связан с определенной схемой отношения, которая содержит последовательность атрибутов, в пространстве которых задана данная структура. АК-объекты, имеющие одинаковые схемы отношения, называются однотипными. Среди всех возможных компонент в структурах АК выделяются и часто используются два типа, названные фиктивными компонентами. Полная компонента (обозначается «*») равна домену соответствующего по порядку расположения атрибута (т. е. в разных местах кортежа она может представлять разные множества). Пустая компонента (обозначается «0» ) равна пустому множеству. В АК определено четыре типа структур. C-кортеж — отношение, равное ДП заданных компонент, которые выражены как кортежи, ограниченные квадратными скобками. Например, Q[XZW] = [{a, c, d} {f h} *] — C-кортеж, где [XZW] — схема отношения, * — фиктивная полная компонента, равная домену соответствующего атрибута (в данном случае атрибута W). Чтобы представить Q[XZW] как обычное отношение, достаточно вычислить ДП: Q[XZW] = {a, c, d}x{f, h}xW. C-система — отношение, равное объединению однотипных C-кортежей, которые записываются " A * 4 ' B B * в виде матрицы, ограниченной квадратными скобками. Например, R[XZW] = L 1 2 J есть C-система, при этом A 1 с X, A 3 с W и т. д. Фиктивная компонента в первом C-кортеже соответствует © Кулик Б. А., 2023 30