Труды КНЦ (Технические науки вып. 7/2023(14))

диаграммы Венна [6], модельные схемы [7], семантические схемы [8], которые на самом деле являются ничем иным, как выраженными другими терминами вариантами соотношений между множествами (включение, непустое пересечение, равенство, несовместимость и т. д.). В основе математической логики лежит язык первого порядка, алфавит которого по определению содержит счетное множество символов, а интерпретацией этого языка является модель, базирующаяся на понятиях «декартово произведение множеств» и «подмножество» [2]. Данная ситуация есть ничто иное как логическая ошибка «предрешенного основания» (petitio principii), когда теория исходит из понятий, определяемых на основе этой теории. В работе [2, с. 66] содержится текст, который достаточно четко характеризует современное состояние логики: «Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики, то многие логики считают более надежным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов». Приведенная выше цитата может служить отправной точкой для постановки следующего вопроса: можно ли в качестве математической модели для семантического подхода в математической логике использовать не «шаткую основу» в виде теории множеств, а лишенную парадоксов алгебру множеств, которую к тому же можно обосновать без аксиом? Логический анализ в математической логике Подсказка для ответа на этот вопрос, хотя и не вполне отчетливая, находится в работе [2]. Она выражается в виде интерпретации языка первого порядка в математической логике. Для большей ясности предварительно рассмотрим неформально некоторые понятия, которые лежат в основе этой интерпретации. Отношения. В естественном языке примерами отношений являются многие классы объектов (например: города, студенты, литературные произведения и т. д.). Эти классы объектов в математике можно выразить двумя способами: во-первых, как множества, а, во-вторых, — как одноместные отношения. Помимо одноместных, часто используются многоместные (или n-местные) отношения. Многие предложения естественного языка можно представить как элементы некоторых отношений. Например, предложение «В июне цены на смартфоны повысились» можно представить как элемент отношения < Изменение цен» с атрибутами Месяц года, Наименование товара, Динамика изменения (растут, снижаются, остаются без изменений). Декартово произведение множеств (ДП). ДП было введено в математику в конце XIX в. Г. Кантором [1]. Оно часто используется в дискретной математике, но его ранее неизвестные свойства и тесная связь с основными структурами математической логики были установлены лишь недавно при исследовании свойств новой математической структуры — алгебры кортежей [4, 9]. Математическое определение отношения. В математике отношения определяются как подмножества некоторого заданного ДП. Таблицы истинности. По сути, это первая модель, с которой начинается ведение в математическую логику. С помощью таблиц истинности можно доказывать все теоремы исчисления высказываний. Они, собственно, являются аксиомами, т. к. изменения в них приводят к формированию ряда неклассических логик, законы которых существенно отличаются от законов классической логики. Язык первого порядка L. Это вторая (основная) модель математической логики. В этом формальном языке предусматривается использование определенного алфавита для обозначения переменных, констант (значений переменных), функций и предикатов. В языке первого порядка также используются логические связки, в состав которых, помимо —і (не), л (и), ѵ (или) и ^ (если, то), входят кванторы V (для всех) и 3 (существует). Излагаются правила, с помощью которых формируются правильно построенные формулы (НПФ). Правила простые, но здесь они не приводятся. Труды Кольского научного центра РАН. Серия: Технические науки. 2023. Т. 14, № 7. С. 26-34. Transactions of the Kola Science Centre of RAS. Series: Engineering Sciences. 2023. Vol. 14, No. 7. P. 26-34. © Кулик Б. А., 2023 28