Труды КНЦ (Технические науки вып. 7/2023(14))

Введение По сути логика началась с открытия Аристотеля, который разработал правила силлогистики, широко применявшиеся на протяжении более чем двух тысячелетий и мало изменившиеся за это время. Вызывает удивление тот факт, что интерпретация логики была неформально изложена еще в IV-м столетии до н. э. в труде Аристотеля «Категории». В этом трактате были рассмотрены следующие отношения в современной терминологии: 1) элемент — множество (первые сущности — вторые сущности); 2) множество — подмножество (род — вид); 3) отношения порядка (больше, меньше); 4) временные отношения; 5) одноместные предикаты (свойства сущностей); 6) некоторые виды бинарных отношений. Математические понятия, соответствующие интерпретации Аристотеля, были открыты через 22 столетия лишь во второй половине XIX в. (А. де Морган — начала теории отношений; Г. Кантор — основы теории множеств). Основные предпосылки современной логики сформировались на рубеже XIX и XX столетий, после того, как была разработана теория множеств (Г. Кантор, Р. Дедекинд и др.), открыты парадоксы теории множеств (Г. Кантор, Ч. Бурали-Форти, Б. Расселл и др.), а в начале XX в. стали завоевывать популярность публикации математиков и философов, стоящих у истоков современного аксиоматического подхода в логике и основаниях математики (Г. Фреге, Дж. Пеано, Б. Рассел и др.) [1]. Аксиоматическая теория множеств в настоящее время рассматривается как один из подразделов математической логики [2]. В отличие от аксиом геометрии Евклида, которые понятны каждому человеку, аксиомы формальной логики и теории множеств понятны лишь профессионалам. Например, в аксиоматической теории множеств есть аксиома бесконечности, и в то же время для определения множеств с одним элементом в этой теории, по признанию самих специалистов, потребуется выражение, содержащее несколько десятков тысяч знаков [1, c. 187-188]. Получается, что понятие бесконечности в теории множеств намного проще понятия единицы. В 1941 г. в США была опубликована ставшая широко известной книга Куранта и Роббинса [3], в которой кратко была изложена алгебра множеств . Здесь авторами была высказана не приемлемая для современных логиков мысль о том, что законы алгебры множеств можно обосновать без аксиом, на основе одних только определений операций и отношений. Там же были приведены примеры такого обоснования. В работе [4] эта тема рассматривается более подробно. Источником противоречий в теории множеств является то, что в ней многие теоретические результаты получены на основе допущения о том, что множество может быть элементом множества. Использование «самоприменимости» к этому допущению (множество, являющееся элементом самого себя) приводит к парадоксу Рассела. Однако в алгебре множеств это допущение необязательно, т. к. в ней, в отличие от теории множеств, основным (системообразующим) является не отношение принадлежности элемента и множества (е ), а отношение включения множеств (с ), для которого «самоприменимость» (A с A) не вызывает парадокса. При этом основные законы алгебры множеств полностью соответствуют основным законам классической логики. Это означает, что для обоснования классической логики нет необходимости в аксиомах. Использование законов алгебры множеств в качестве правил вывода в полисиллогистике позволяет существенно упростить методы анализа рассуждений и расширить аналитические возможности логического анализа (в частности, распознавать коллизии парадокса и цикла в рассуждениях, анализировать корректность гипотез, вычислять варианты абдуктивных заключений) [4]. С помощью свойств отношения включения множеств были найдены логические ошибки в общепринятых правилах традиционной силлогистики [5]. Понятие «множество» не используется явно в основаниях современной логики, но после чтения учебной литературы по логике становится понятно, что без этого понятия здесь трудно обойтись. В учебниках логики для обоснования различных вариантов правильных силлогизмов рекомендованы Труды Кольского научного центра РАН. Серия: Технические науки. 2023. Т. 14, № 7. С. 26-34. Transactions of the Kola Science Centre of RAS. Series: Engineering Sciences. 2023. Vol. 14, No. 7. P. 26-34. © Кулик Б. А., 2023 27