Труды КНЦ (Технические науки вып. 7/2023(14))

Труды Кольского научного центра РАН. Серия: Технические науки. 2023. Т. 14, № 7. С. 112-122. Transactions of the Kola Science Centre of RAS. Series: Engineering Sciences. 2023. Vol. 14, No. 7. P. 112-122. через {Cm } , {^ ° ,L} приближенные значения концентраций c(tn+^xm), q0,L(t”+1) на (n + 1)-м слое по времени, а через {Cm} , {Q0,l} — значения концентраций на предыдущем n-м слое. Рассмотрим несколько шаблонов разностных схем и соответствующие им формулы численного дифференцирования: д г* _ Cm —1 2Cm+ Cm +1 д Л _ Cm -1 —2Cm+ Cm +1 m= h 2 m = h 2 • C -C C -C C m C m ^ a f'' I f C m C m ^ a 2 ~ ^ C m + J m * ^C m + J m X — явная схема, X — неявная схема; Cm—Cm „ ACm + f m+ f m X 2 2 — схема Кранка-Николсон. Доопределим разностный оператор Л на границах следующим образом: — 3C + 4C —C C — 4C + 3C _ 3C0+ 4C1 C2 _ CM —2 4CM—1+ 3CM 0 = 2h , M 2h . Явно-неявная схема. Рассмотрим следующую разностную схему для уравнения диффузии: Cm — Cm = (*) D ACm—^ KC2m ^ Cm — Cm = IX Cm—1— 1Cm + (7m+1—^ KC2m. x 2 с x h 2 с ^ Рассмотрим переход с n-го на (n + 1) -й слой по времени (n ~ 0, 0 < m < M ) : в h2 . „ 2 h2 Cm +1— (2 + s)Cm+ Cm —1+ f m = 0 f m = sCm ГС ЛCm, S = ^ J ’ J ’ 2 c D* x Условие устойчивости метода прогонки выполнено, трехдиагональная матрица — с диагональным преобладанием ( I2 + s > 2 , т. к. s > 0 ). Значения в начальный момент времени известны: Cm = 0, Q°j 0 (0 < m < M ) . Следуя методу прогонки (алгоритм Томаса), ищем приближенные значения концентрации в узлах сетки на (n + 1)-м слое по времени в виде Cm = a m+iCm+i + Ри+і, m = 0, —,M — 1 . Прогоночные коэффициенты: ™ _ ______ 1 ______ о _ Pm + f m pm+1 = m+1 ~ r 1 Л 1 , 1 2 + s —a m 2 + s —a m m = 1,—,M —1 (8) ^ P Для нахождения начальных коэффициентов 1, P1 воспользуемся следующими соображениями. C Подсчитаем предварительно значения C1,2 по явной разностной схеме (в равенстве (7) справа заменяем Ci на C i). Рассмотрим аппроксимацию краевого условия (5) на левой границе (tn ^ tn+1 ): 0 C 0 * (—3C0 + 4C1—C2) /( 2 h ) . Q 0 — Q 0 : 2|Xsp 1— Q0 —b(1) Q2 + D ѲC0— D — ѲC02 2 с 2 X q © Заика Ю. В., Родченкова Н. И., 2023 117