Труды КНЦ вып.12 (ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ вып. 5/2021(12))

Введение Поясним, что рассматривается как парадокс в настоящей работе и сформулируем его основное отличие от противоречия в математической логике. Принято считать, что парадокс - это ситуация, когда два взаимоисключающих высказывания оказываются доказуемыми. Но с точки зрения формальной логики это противоречие, в таком случае формула, с помощью которой написана модель парадокса, оказывается тождественно ложной. Например, противоречивы два высказывания «Всем A присуще свойство B » и «Некоторым A не присуще свойство B ». В то же время, если второе высказывание заменить на «Всем A не присуще свойство B », то полученная пара высказываний не будет противоречивой, а данная система высказываний лишь свидетельствует о том, что объект A - ложный или вообще не существует. Именно к такой форме приводятся при логическом анализе многие парадоксы теории множеств. В качестве примера рассмотрим парадокс «Мэр города», который заключается в следующем: в одной провинции был издан указ о том, что мэр каждого города не должен жить в своем городе, а только в городе N . Спрашивается, где должен жить мэр города N? Ответ очевидный: он не может жить ни в городе N, ни вне его. Если записать логическую формулу этого парадокса, то окажется, что пропозициональная переменная «мэр города N » является безусловно ложной. Вполне понятно, что несчастный мэр стал жертвой противоречивого указа. В то же время в аналогичных парадоксах теории множеств нередко всю вину за противоречивые свойства некоторых множеств приписывают самой теории множеств, но не противоречиям в определениях. Например, если вопреки принятой в литературе по математической логике традиции [1] предположить, что «элемент» по определению не может быть «множеством», то о парадоксах теории множеств останутся лишь воспоминания. Оказывается, во многих случаях парадоксы можно свести к формальному противоречию. Рассмотрим парадокс подмены [2], который часто встречается в рассуждениях по аналогии и в моделях рассуждений по прецеденту. Пусть имеется некоторый исходный объект O и его аналог A , при этом множество PC свойств у этих объектов совпадает. Известно также, что объекту O присущи свойства PO , а объекту A - свойства PA , при этом данные свойства несовместимы, что можно выразить с помощью формулы P a з — P o . Тогда логическую модель подмены можно представить формулой: (A з P c ) л (O з Р с ) л (A з P a ) л (O з P o ) л (P a з — P o ) л (A з O). (1) В этой формуле подформула A з O выражает процедуру отождествления исходного объекта с аналогом. Следствием данной формулы является коллизия парадокса A з —A и безусловная ложность аналогаA. Если в формулу (1) добавить еще одну посылку A, то полученная формула окажется тождественно ложной, т.е. противоречием. Можно сказать, что парадокс - это рассуждение, результат которого состоит в несовместимости итога логического анализа с неявно принятым допущением (например, предполагается, что A истинно). Если в это рассуждение добавить в качестве посылки неявно принятое допущение, то получим противоречивую формулу. 172