Труды КНЦ вып. 11 (ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ) вып. 8/2020 (11)

Формализуется сказанное следующим образом. Введем обозначение. Здесь и далее Ф( X , Y ) будет обозначать семейство всех функций, отображающих множество X в множество Y • Сделанное предположение означает, что вся информация о неопределенном факторе, доступная оперирующей стороне, может быть закодирована словами 5 = ( 5 ,..., 5 ) из нулей и единиц длины l . Множество {0,1} (декартову степень множества {0,1}) обозначим буквой S . Поскольку ограничений на доступ к информации о неопределенном факторе у оперирующей стороны нет, выбор «способа кодировки» P : A ^ S - это ее прерогатива. Кроме того, в зависимости от полученной информации 5 е S оперирующая сторона вправе выбрать любое управление w е W .Т.е., по сути, она может выбирать функцию w : S ^ W . Если оперирующая сторона зафиксирует способ кодировки P е Ф(A, S ) и правило выбора управления W е Ф ^ , W ) и реализуется значение неопределенного фактора а е A , то оперирующая сторона получит сообщение P ( а ) , выберет управление w* ( P ( а ) ) , и ее выигрыш составит g (w„ ( P ( )) , а ) . В таком случае математическое ожидание выигрыша будет равно J g (W ( P ( а ) ) , a ) p ( d a ) , а при наилучшем выборе стратегии A ( w , P ) е Ф ( S ,W ) х Ф ( A, S ) результат составит R ( l ) = sup J g (w P P ( а ) ) , а р ^ а ) (w*,Р)еФ^,W )хФ(A,S )JA Упростим формулу, определяющую величину R ( l ). Фиксируем функцию w eФ (S , W ) . Она принимает m = 2l различных значений. Пусть множество этих значений есть {w 0 , щ ,..., wm_} . Сообщение 5 = ( 5 ,..., 5 ) можно рассматривать как двоичную запись w0 ...w m-1 натурального числа из множества {0,1 ,...,m — 1}. Имея в виду такое отождествление, можно, не ограничивая общности, считать, что w ( 5 ) = ws . Если функция w е Ф ^ , W ) фиксирована, то способ кодировки информации P е Ф(A, S ) разумно выбирать так, чтобы при каждом значении а е A сообщение r = P ( а ) удовлетворяло условию g(wr ,а ) = max g ( ws , а ) . При таком выборе r=0,1,..., m — 1 стратегии ( w , , P ) математическое ожидание выигрыша будет равно J max g (w , а )ірШа ) .А при наилучшем выборе функции w* можно рассчитывать J 5 = 0,1,...,m— 1 5’ / A на получение ожидаемого результата max J max g (w ,а)р(Ла) • (w0,w1,...,wm—1) s W ^ s = —1 5 Понятно, что приведенные рассуждения обратимы, поэтому справедлива следующая теорема. 132