Труды КНЦ вып.9 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 5/2018(9))

При этом 1-мерная периодическая задача (19) на собственные числа и функции ~2 принимает вид задачи на собственные числа и векторы для оператора 5 (симметричной матрицы размера 2 N X 2 N ): b V h ( k ) = \ - V h ( k ) , k = 0 , \ , . . . , 2 N - \ , (29) где Vfj (к ) определяется при всех к е Z из условия периодичности: V (к ± 2 N ) = Vh ( к ) . В матричной форме задача (29) может быть записана как A Vh = X ■V h. где соответствующая оператору 5 матрица А размера 2 N х 2 N имеет вид: A = - 2 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 1 - 2 Нетрудно найти, что матрица A имеет ( N + 1 ) различных собственных чисел X[5'] = - 2 ( l + cos(n5'/Ar) ) , s = 0 , l , . . . , N , (30) из которых два числа Xmin = X[0] = - 4 и Xmax = X[N] = 0 однократны, а остальные ( N - 1) чисел /,|л | при s = \ , . . . , N — 1 являются двукратными. Учитывая, что формально при s = 0 ,1 ,.. .,2 N верно равенство X[2iV— s] = X[.s], собственные векторы V \ s ] G М.2Л матрицы А (и оператора б ) удобно занумеровать так: AK [s] = X[s]•K [s ], s = 0 , — 1 . При этом их координаты V [s](k) , к = 0,1,..., 2 N —1 определяются формулами V[s](k) = c o s ( n s k / N ) при s = 0,1 ,...,N , V[s](k) = sin ( n s k / N ) при s = N + 1 ,...,2N - 1 , 2N-1 а для евклидовых норм собственных векторов И * ] | 2= I |V[s](k )|2 верны k =0 равенства: V [0]|2 = V [ N ]|2 = N , V [ s ] f = N / 2 при s = 1,..., N - 1 , N + 1 ,...,2 N - 1 . Рассмотрим теперь дискретный аналог задачи (13) в случае конечно­ разностной аппроксимации 4-го порядка точности (см., например, [2,3]) на (31) 176