Труды КНЦ вып.9 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 5/2018(9))

J F ( x ) d rix = 0 . П п,2 Алгоритм решения задачи (13) методом Фурье состоит из следующих шагов: 1) находим по формуле (25) коэффициенты Фурье F [ р ] правой части по определяемой формулами (22)-(24) системе собственных функций {W [Р ] ( x )} задачи (21) в пространстве L-, ( П п 2 ); 2) находим коэффициенты Фурье U [р ] решения U ( x ) при IN = px + p y + pz ^ 1 по формуле U [р] = F [ р ]Д [ р ] , (26) и далее для удобства считаем, что U[0] ( x ) = 0 ; 3) находим решение U ( x ) задачи (13) как сумму ряда Фурье U (x ) = V V U [p x. p y ] • Vx [Px ](x )-Vy [p y ](y ) . п = 2 / t [-p , Г У ] ' [p ] W У [py] px =0 Py =0 +OT +& U (x ) = / X X U[ Px . P y . Pz ] Px =0 Py =0 Pz =0 V x[px ]( x )• Vy [Py ](y ) •Vz [Pz ](z ), п = 3. (27) +<X) 4. Дискретная задача и ее решение методом Фурье Алгоритм решения дискретной краевой задачи методом БФП полностью повторяет шаги изложенного выше алгоритма решения «непрерывной» краевой задачи (13), основанного на формулах (22)-(27), но при этом содержит ряд дополнительных технических действий. Рассмотрим дискретный аналог задачи (19), то есть 1-мерную дискретную периодическую задачу на собственные числа и векторы. Введем на отрезке [0 ;2L] сетку xk = k - h , к = 0 , 1 , . . , , 2 N , где h = L / N - шаг сетки. С учётом условия периодичности V ( 0 ) = V ( 2L ) функция V (x) переходит в 2 N -мерный сеточный вектор Vh е K 2jV с координатами Vh ( k ) = V (хк ) , к = 0 ,1 ,..., 2 N — 1. В случае конечно-разностной аппроксимации 2-го порядка точности -2 оператор 2-й производной заменяется разностным оператором 5 (см. [2-4]): _> J - S Ч ( к ) = ^ ( V „ (к + 1) - 2 Г„ ( к ) + Г„ ( * - ! ) ) . (28) 175