Труды КНЦ вып.9 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 5/2018(9))

а также аналогичные 3-мерные параллепипеды исходный П 3 ^ и «удвоенный» П 3 2 , которые определяются формулами П 3,1 = ( 0 ; Lx ) х (0 ; Ly ) х ( 0 ; Lz ) , П 3,2 = ( 0;2Lx ) x (0;2Ly ) x (0;2Lz ) . (5) В этих обозначениях первый нижний индекс показывает размерность пространства, а второй характеризует размеры по каждому измерению прямоугольника или параллепипеда. Рассмотрим краевые задачи Дирихле и Неймана с однородными граничными условиями и финитной правой частью для уравнения Пуассона А и (x ) = f ( x ) , x Gп „д, (6) где правая часть f ( x ) - заданная функция. Будем считать, что правая часть е С^ПиД^ , то есть является достаточно гладкой (1 раз непрерывно дифференцируема) на замкнутом прямоугольнике (параллепипеде) Пп ,1 и финитной (равной нулю в некоторой окрестности границы ЗПп j ), где п = 2 ,3 - размерность пространства. Однородное граничное условие Дирихле имеет вид u( x ) = 0 , x е З П п1. (7) Однородное граничное условие Неймана имеет вид = 0, x е 5П i , (8) on где n ( x ) - единичная внешняя нормаль к границе ЗПп j . Рассмотрим сведение задачи Дирихле ( 6 ), (7) или задачи Неймана ( 6 ), ( 8 ) с однородными граничными условиями в прямоугольнике или параллепипеде Пп j к соответствующей периодической краевой задаче в удвоенном прямоугольнике или параллепипеде П п2 . Для этого необходимо соответствующим образом продолжить правую часть f ( x ) с множества Пп ,1 на удвоенный прямоугольник или параллепипед Пп ,2 . Обозначим такое продолжение в случае задачи Дирихле через FD( x ) , а в случае задачи Неймана через Fn( х ) . Для продолжения FD( x ) по каждой переменной используется нечетное продолжение относительно правого края Lx , Ly , Lz исходного интервала. В 2 -мерном случае продолжение FD( x ) определяется формулами f d ( x у ) = f ( x, у ) , f d ( x + L x ,у ) = ~ f ( L x - x, y ) , F D ( x, У+ L y ) = - f ( x, L y - У) , F D ( x + L x ,У+ L y ) = f ( L x - x, L y - У) , (9) ( ^ У ) е П 2,1 = [0 ; Lx ] х [ 0 ; Ly ] . В 3-мерном случае продолжение FD( х ) получается в результате последовательного применения следующих формул: 169