Труды КНЦ вып.9 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 5/2018(9))

синус или косинус-преобразования Фурье. Второй способ состоит в сведении исходной задачи к периодической задаче в прямоугольной области с удвоенными размерами путем продолжения правой части специальным образом. Отметим, что быстрое дискретное синус и косинус-преобразование Фурье периодического 1- мерного массива с размерностью N сводятся к обычному быстрому дискретному преобразованию Фурье периодического 1-мерного массива с удвоенной размерностью 2 N . При этом программы синус и косинус-преобразования существенно сложнее исходного преобразования Фурье. Кроме того, при таком сведении задачи Неймана к периодической автоматически достигается аппроксимация однородного граничного условия Неймана с тем же порядком точности, что и аппроксимация уравнения Пуассона. Поэтому второй способ для наших целей является более удобным, и вработе предложен прием сведения задачи Дирихле или Неймана с однородными граничными условиями в прямоугольнике [0 ; L x ] х [0 ; Ly ] или параллепипеде [0; Lx ] х [0; Ly ] х [0; Lz ] к периодической задаче в аналогичной области с удвоенными размерами по каждому измерению. При этом автоматически получается конечноразностная аппроксимация граничного условия Неймана того же порядка точности, что и аппроксимация уравнения Пуассона, в частности, аппроксимация 4-го порядка точности. Это является важным новым методическим результатом. Также в работе предложен новый прием, который позволяет снять ограничение (1) на число шагов сетки по каждому измерению, то есть оставляет только условие (2), и состоит в следующем. Если условие (1) нарушено, то по исходной сетке с шагом h0 создается вспомогательная сетка с более мелким шагом h и числами шагов сетки по каждому измерению N x , N y , N z , которые удовлетворяют условию (1). При этом числа m x , m y , mz определяются через исходные числа шагов N x0 , N y 0 , N z0 по формулам mx = N 2 Nx0 ] + my = [ lo§2 Ny0 ] + 1 mz = N 2 Nz0 ] + (3) где через [ a ] обозначена целая часть действительного числа а. Для получения дискретной задачи на вспомогательной сетке выполняем интерполяцию правой части уравнения с исходной сетки на вспомогательную сетку при помощи интерполяционного полинома Лагранжа с порядком на 2 большим используемого порядка аппроксимации уравнения. То есть в случае метода 2-го порядка точности используем полином Лагранжа 4-го порядка — аппроксимация по 4-м ближайшим узлам на измерение, а в случае метода 4-го порядка точности используем полином Лагранжа 6-го порядка — аппроксимация по 6-ти ближайшим узлам на измерение. После этого методом БФП решается задача на вспомогательной сетке, а потом полученное численное решение интерполируется обратно на исходную сетку полностью аналогично описанной интерполяции. Многочисленные тестовые расчеты показали высокую точность и эффективность этого приема. В работе рассматриваются основные детали программы, которая выполняет следующие шаги. 167