Труды КНЦ вып.9 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 5/2018(9))

параллепипеде на регулярной сетке с большим числом узлов возникает во многих задачах физики и техники. Большую актуальность эта проблема имеет для физики бесстолкновительной космической плазмы. Во многих численных моделях крупномасштабных процессов в космической плазме в ходе каждого шага по времени для нахождения электрического и магнитного поля возникает необходимость в численном решении одной или нескольких краевых задач для уравнения Пуассона. Число шагов по времени в ходе одного просчета модели может иметь порядок от тысяч до миллионов и более. Поэтому для этих моделей необходимо создание набора высокопроизводительных максимально простых программ с удобным и ясным интерфейсом, каждая из которых предназначена для решения краевых задач одного типа, и имеет максимально возможный уровень параллельности. Для этих целей возможно использовать только такие численные методы, в которых основной объем вычислений может выполняться в параллельном режиме на графических процессорах (GPU). К числу таких относится метод быстрого преобразования Фурье (далее БФП) (см., например, [2-4]), который позволяет решать задачу с периодическими граничными условиями, а также задачи с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана. Отметим, что в платные библиотеки MKL и IMSL языка FORTRAN входят подпрограммы решения краевых задач для уравнения Пуассона в 2-мерном прямоугольнике и 3-мерном параллепипеде методом БФП, однако они имеют ряд недостатков, которые делают их непригодными для достижения указанных выше целей. Метод быстрого преобразования Фурье допускает два варианта: со 2-м и 4-м порядком точности, и основан на алгоритме Кули-Туки (Кули-Тьюки) дискретного быстрого преобразования Фурье периодического 1-мерного массива с размерностью N = 2т , что дает соответствующее ограничение на числа N xq , N y о , N z0 шагов сетки по каждому измерению X, Y, Z вида где тх , m y , mz e N - натуральные числа. Из этого ограничения вытекает условие на соотношения размеров параллепипеда (прямоугольника) Lx , Ly , Lz по соответствующим измерениям X, Y, Z вида где M y х = ту — тх , M z х = mz — тх e M - целые числа. Это ограничение весьма неудобно для построения численных моделей крупномасштабных процессов в космической плазме. Отметим, что алгоритм Кули-Туки может быть обобщен также и для случая, когда размерность массива N имеет вид произведения степеней простых чисел 2, 3, 5, 7, то есть TV= 2™2 •З™3 • 5Шз ■I™1 , где т2 , Щ , ш5 , щ е Z+ - целые неотрицательные числа. Однако в этом случае он существенно усложняется. Для численного решения задачи Дирихле и задачи Неймана можно использовать два способа. Первый способ состоит в использовании соответственно дискретного Nxo = 2т х , Nyo = 2т у, Nzo = 2mz , (1) 166