Труды КНЦ вып.38 (ГЕЛИОФИЗИКА вып. 4/2016(38))

8 w , 8 w . а И Г = 0 • ~ E T = - ^ w<■ (4) 8 w 2 8 w 2 Ow5 5 — - + c — - = M w , , — - + c — 1 = M w , (5) dt dx y 1 8t 8x dw^ 8 w ^ 8 w ^ 8w, — - - c — - = —M w , , — - - c — - = —M w, . (6) 8t 8x z 1 8t 8x y 1 Отметим, что в силу первого уравнения из (4) на шаге расщепления по x постоянны w и правые части уравнений (5) и (6) и что в силу второго уравнения из (4) для w имеется очевидное аналитическое решение. Таким образом, численное интегрирование первой системы из (3) сводится к численному интегрированию уравнений (5), которые описывают волны, бегущие слева направо вдоль оси x , и уравнений (6), которые описывают волны, бегущие справа налево. Для этих уравнений предложено большое число разностных схем [7, 8]. Существует несколько явных монотонных схем, которые имеют 3-й порядок точности по пространству и 1-й порядок точности по времени, например, схема, предложенная в работе [10]. Тестовые расчеты показали, что для получения приемлемого качества численного решения необходимо использовать схемы повышенного порядка точности. Авторами данной работы была предложена следующая явная гибридная схема, которая имеет 2-й порядок точности по времени и 3-й по пространству. Рассмотрим построение этой схемы. Пусть задана равномерная сетка по времени и равномерная пространственная сетка в декартовых координатах, целые и полуцелые узлы которых заданы соотношениями tn = t0 + n т , X = x0 + i h xx y j = y 0 + j = y , Zk = Z0 + k K> Xt+V2= x0 + (i + 1 / 2 j hx> У,+1/2 = У0 + (J + j j j hy ’ У+1/2 = к + кк + 1 / 2) hz , в которых hx , hy , h2 — шаги сетки по осям X , y , z , а т — шаг по времени. Будем использовать стандартные обозначения для значений функции w в узлах сетки w ( tn, x i, y j , z k j = w npt j k . Явные разностные схемы для первого из уравнений (5) записываются в виде: n+1 П • = —C x,i,j W2, i,j,к W2,i,j,к ,i,j ,к ( W2,i+1/2,j ,к W2, i—1/2,j,к j + TMy,i,j, £W1,i, j,к , (7) где Cxi j k = c j T / hx > 0 есть число Куранта в направлении X в узле сетки с индексами i, j , к . Порядок точности схемы (7) и ее монотонность обеспечиваются способом вычисления значений функции W2 в полуцелых по х узлах сетки. Для записи этого способа обычно используют параметр, называемый анализатором гладкости функции w2 в направлении х и заданный формулой 138