Труды КНЦ вып.38 (ГЕЛИОФИЗИКА вып. 4/2016(38))

уравнений. На каждом временном шаге нужно последовательно проинтегрировать 3 системы уравнений. Вот один из вариантов схемы расщепления для системы (1), состоящий из 3-х шагов: du' du' du" — + c Ax — = F x, ---- dt дх dt +c A du" _ du " . du"" _ ---- = F , ------- h c A z -----= F , dy y dt dz z (3) где F =Fx +Fy+Fz , F = 0,0, 0, - u E „ Y ss„ , M B X , - M B x c z y F = y 0,0,0, - M B y, - u E ^ ---- y , M B ’ x ssn ( F = 0,0,0, M„Bz , - M B z ,- ss, 0 J В качестве начальных условий для каждой системы уравнений из выражения (3) берутся значения, рассчитанные в результате предыдущего шага расщепления. Сохранить второй порядок аппроксимации по времени в схеме расщепления (3) можно с помощью циклического изменения порядка выполнения шагов расщепления, например, выполняя сначала в следующем порядке шаги по пространственным направлениям: х y z ; y х z ; z x y ; x z y ; y z x ; z y x . Обоснование этого утверждения содержится, например, в монографиях [8, 9]. Рассмотрим первую систему из (3), которая интегрируется на шаге расщепления по направлению x . Представим матрицу Ax в виде -і Ax = Q x Л XQ X , где Л x— диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы Ax , Q — матрица, столбцы которой есть правые собственные векторы матрицы A x , определенные с точностью до множителя, а - і -і Q есть матрица, обратная к Q . Строки матрицы Q есть левые собственные векторы матрицы Ax . Эти матрицы можно взять в виде: Л x = ( 0 0 0 0 0 0 ^ 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 і 0 0 0 0 0 0 - і Q x = (1 0 0 0 0 0 ^ 0 1/2 0 0 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 /2 0 1/2 0 0 -1 /2 0 0 0 1/2 Q x = (1 0 0 0 0 0 ^ 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Введем вектор-столбец характеристических переменных w = Qxu , компоненты которого заданы формулами w l = B x , w 2 = By - E z , w3 = Bz - E y , w4 = Ex , w5 = Bz +E y , w6 =By +E . Умножая первую систему из (3) на матрицу - 1 Q слева, получим систему из независимых скалярных уравнений для характеристических переменных: V T V V 137