Труды КНЦ вып.32 (ГЕЛИОГЕОФИЗИКА вып. 6/2015(32))

с распространяющимся в пространстве фронтом. Такие задачи в однородном изотропном проводнике сводятся к задаче Коши для 3-мерного телеграфного уравнения для векторного потенциала с нулевыми начальными условиями. Для телеграфного оператора известно фундаментальное решение (функция Грина, например, без доказательства приведено в [1]), но до настоящего времени не была выведена формула, которая описывает решение задачи Коши аналогично формуле Кирхгофа для волнового уравнения. В этой работе мы выводим эту формулу и с её помощью получаем решение задачи о поле электрического диполя Герца, который включается на конечное время и имеет произвольную зависимость от времени тока в диполе. Также для тестирования численных моделей распространения сигнала в волноводе Земля - ионосфера важны точные решения (во всем пространстве) для случая поля от источника, расположенного на плоской границе между двумя различными однородными бесконечными средами. Наилучшим примером является задача о поле гармонического по времени горизонтального электрического диполя Герца, который расположен на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред, из которых одна обязательно является проводником, а вторая может быть как проводником, так и диэлектриком [1-5]. До настоящего времени у этой задачи было известно только приближенное решение в низкочастотном пределе (без учета тока смещения) для случая сред с одинаковой магнитной проницаемостью. В этой работе мы приводим точное решение этой задачи для общего случая. Постановка задачи нахождения электромагнитного поля от заданного нестационарного сингулярного источника внешнего тока и вывод уравнения баланса заряда Пусть однородный изотропный проводник с проводимостью ст, относительными проницаемостями диэлектрической s и магнитной [J, занимает область QczD 3 в пространстве П 3, в которой задан сингулярный источник тока — сингулярная обобщенная функция, у которой носитель по х supp a Q является либо конечным множеством точек, либо ограниченной кривой, либо ограниченной поверхностью. Обозначим через Ф '(П х [*0;Г]) пространство обычных обобщенных функций в случае ограниченной области Q и пространство обобщенных функций медленного роста по х в случае неограниченной области Q (см. [6]). Обозначим через ( х , плотность заряда в источнике, которая является сингулярной обобщенной функцией с тем же носителем supp / 1Л1c Q по х. Подчеркнем, что эта функция заранее не известна и должна быть выражена через заданную плотность тока j ^ ( x , t ) - входной параметр задачи. Через ра (д:,/) и }п ( х , і ) обозначим соответственно пространственные плотности заряда и тока вне источника, которые должны быть непрерывны по х в области Q \ supp j ^ s\ 127