Тиетта. 2017, N 2 (40).

Г / 6 / i Распределение выпуклых 4- ... 8-акров по точечным группам симметрии, a.g.o. - порядок группы автоморфизмов, s.p.g. - точечная группа симметрии, V - число вершин, F - число граней. a.g.o. S.p.g. V 4 5 6 7 F 4 5 b 5 6 7 8 6 7 8 ]0 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 2 3 22 48 44 21 2 2 2 1 i 2 1 2 5 5 8 1 I m ! 1 2 4 4 4 1i 17 19 12 4 4 mm2 1 1 ] 2 2 I 1 2 1 2 4 3 2/m 1 6 3m 2 I 2 3 4mm 1 mmm I 42m 2 1 1 10 5m 1 12 fim2 1 i 1 3m 1 6mm 1 N 7m 1 16 82m 1 20 I0m2 1 24 6/inmiti 1 43m I 1 4К m3m 1 J £ 1 1 1 1 2 2 2 8 1! 8 5 2 It 42 74 76 38 M Е 1 2 34 257 Наука / Science но: 4, 6, 8, 12, 20 у платоновых тел; 12 (2 раза), 24 (4 раза), 30, 48, 60 (4 раза), 120 у архимедовых тел; любое чётное n > 6 для призм и антипризм (куб и октаэдр топологически эквивалентны тетраго­ нальной призме и тригональной антипризме, со­ ответственно). Вопрос состоит в том, как Н зави­ сит от a.g.o. и s.p.g. n-акров с ростом n. Рёберные графы выпуклых 4- . 8-акров (все­ го 301) даны в каталоге (Войтеховский, Степенщи- ков, 2008). Для каждого найдены числа n вершин в различных позициях, рассчитаны вероятности (частоты) p. = n. / n и энтропия H, которую удоб­ но понимать как топологическую (комбинатор­ ную, конфигурационную) энтропию полиэдра. На приведенных рисунках хорошо видна общая тенденция: чем выше a.g.o., тем ниже H. При этом есть много локальных исключений: оба 5-акра противоречат тренду; некоторые n-акры с одним a.g.o. и даже s.p.g. имеют различную H, тогда как некоторые n-акры с той же H имеют различные s.p.g. и даже a.g.o.; более того, некоторые n-акры с большим a.g.o. имеют и большую H. Как показано выше, для данного n уравне­ ние H = const разрешимо тогда и только тогда, ког­ да const = 0 или log n. В случае 0 < const < log n оно не разрешимо. (Т.е. бесконечно много точек ле­ жит на изолинии H = const, см. график функции Н). Но в дискретном случае число вероятностных распределений p = n / n вершин по позициям ко­ нечно, поэтому конечно и число значений Н , ко­ торые можно рассчитать заранее. Таким образом, для данного n по Н в некоторых случаях можно найти соответствующие вероятности. Это невоз­ можно, если n неизвестно. Так, вероятности (3/6, 3/6) для некоторого 6-акра и (4/8, 4/8) для 8-акра дают ту же энтропию Н . Для данного n та же эн­ тропия Н возможна для n-акров с различными s.p.g. и даже a.g.o. главным образом в зависимо­ сти от того, лежат ли вершины на плоскостях и / или осях симметрии. Беспорядок или сложность? Энтропия Н характеризует скорее «беспо­ рядок», чем «сложность» системы, в том числе