Тиетта. 2017, N 2 (40).

Наука / Science л м на приведены здесь подробно для того, чтобы ис­ пользующий её специалист (хоть минералог, хоть биолог) отдал себе отчёт в том, какая аксиоматика соответствует его представлениям об изучаемом объекте. Свойства статистической энтропии Пользователь статистической энтропии в традиционной записи H = - Е p . log p . , где i = 1, ... n, а основание логарифма определяет единицу из­ мерения Н, чаще всего не углубляется в аксиома­ тику, ограничиваясь её основными свойствами. Они перечислены выше, поясним лишь некото­ рые детали. Как функция нескольких аргументов с очевидным ограничением p1 + ... + pn = 1, Н яв­ ляется их свёрткой. Важно понимать, можно ли «развернуть» Н в их исходные значения. Если все вероятности 0 < p < 1, то все слагае­ мые в Е положительны и H(p1, ... pn) > 0. Рассмо­ трим случай, когда одна из вероятностей p. = 0. Ис­ следуем lim [p. lo g p ] = lim [logapi / (1/pt )] при pt ^ 0 по правилу Лопиталя. Переходим к пределу отно­ шения производных: lim p / ln a = 0. Следовательно, исходный предел тоже равен 0. Если одна из вероят­ ностей p = 1, а остальные - 0, то 1 х log 1 = 0, осталь­ ные слагаемые равны 0 по доказанному выше. Та­ ким образом, в последнем случае достигается H = 0. В этом случае свёртка Н разворачивается в min исходное распределение вероятностей, но лишь с точностью до перестановок аргументов. Чтобы найти H , надо применить метод Ла­ гранжа и продифференцировать по всем перемен­ ным функцию H*(pv ..., p j = H(p v ..., p j + |U(E pi - 1). Это приводит к системе уравнений д H * / д pt = - logap i - 1/ln a + ц = 0, i = 1, n откуда находим критические значения аргумен­ тов: p = a^ / e и далее p = 1/n. С помощью крите­ рия Сильвестра убеждаемся, что это точка макси­ мума: H(p1, ..., pn)max = logn . Только в этом случае свёртка Н однозначно разворачивается в исходное распределение вероятностей. График функции Н для двух (арки с H = lg 2) и трёх (поверхность с H = lg 3) вероятностей по­ казан далее над барицентрической диаграммой p1 + p2+ p3 = 1 (рис.). Легко видеть, что небольшие изменения вероятностей p в углах диаграммы вы­ зывают быстрые изменения H (ножки купола кру­ тые), а те же изменения p в центре диаграммы не изменяют Н столь сильно (здесь поверхность по­ логая). Таким образом, энтропия Н как шкала де­ формирована существенно по-разному в разных областях поля вероятностей. График энтропии H для двух и трёх вероятностей (в найтах, т.к. использованы десятичные логарифмы). Система одна, энтропии - разные Одна и та же система может быть охаракте­ ризована с разных сторон, соответственно, раз­ ными статистическими распределениями, далее свёрнутыми в статистические энтропии. Приме­ нительно к природным системам здесь нас интере­ сует разделение дескрипторов на те, что описыва­ ют их элементный состав, и те, что описывают вну­ трисистемные отношения. Легко видеть (из фор­ мулы бинома Ньютона), что в системе из n элемен­ тов число различных k-арных (k = 2, ..., n) отноше­ ний равно С 2 + ... + C n = 2n - C 1- C 0 = 2n- n - 1 и Г n n n n быстро растёт с n . Рассмотрим ситуацию на при­ мере из кристаллографии и минералогии, огра­ ничившись бинарными отношениями. Использу­ ем статистическую энтропию для описания выпу­ клых 4- ... 8-акров (4- ... 8-вершинных полиэдров) с точки зрения того, как их вершины распреде­ лены по позициям относительно элементов сим­ метрии. Они охарактеризованы точечными груп­ пами симметрии далее в таблице (Войтеховский, 2014; Voytekhovsky, 2014). Из свойств статистической энтропии следу­ ет, что H достигается для n-акров, у которых все вершины различны, т.е. для комбинаторно асим­ метричных n-акров, n > 7. В то же время, H до­ стигается для n-акров, у которых все вершины на­ ходятся в равной позиции. Это правильные (пла­ тоновы) и полуправильные (архимедовы) полиэ­ дры, включая бесконечные серии призм и анти­ призм. У них чётное число вершин n > 4, а имен