Тиетта. 2017, N 2 (40).

f f > л Наука / Science ва. Чтобы различить указанные n-акры, использу­ ем энтропию H , которая учитывает валентности вершин. Так, есть 7 комбинаторно асимметрич­ ных 7-акров (табл.), неразличимых по энтропии H = lg 7. Но почти все они уникальны по валент- max о J ностям вершин: 511, 43, 412, 331 (два 7-акра), 3211, 232. (Здесь числа v 3- ... 6-валентных вершин даны в виде лексикографически упорядоченных симво­ лов). Очевидно, энтропия Hv различна для 6 классов: П Hv=- Z P1log P1, где pt = v. / n. i=1 Комбинаторно асимметричные 8-акры (все­ го 140) делятся на 31 класс: 62 (три 8-акра), 6101 (2), 521 (14), 5111 (6), 503 (3), 44 (6), 4301 (7), 422 (16), 42101 (2), 4202 (2), 4121 (8), 404, 4022, 341 (16), 3311 (15), 33011 (2), 323 (8), 32201, 3212 (3), 3131 (5), 31211, 2501, 242 (6), 24101, 2402, 2321 (4), 23111, 224, 161, 1511, 143. (Здесь числа 3- ... 7-валентных вершин даны в виде лексикографически упорядоченных символов). Среди них 12 классов состоят из уни­ кальных 8-акров. Другие классы содержат не­ сколько 8-акров с той же Hv , т.к. 0 и перестановки чисел v в символах не меняют энтропию: 6101 и 161; 521’и 2501; 5111 и 1511; 44 и 404; 4301, 341 и 143; 422, 4202, 4022, 242, 2402 и 224; 42101, 4121 и 24101; 3311, 33011 и 3131; 32201, 3212 и 2321; 31211 и 23111. Таким образом, комбинаторно асимметричные 8-акры делятся на 12 классов по H . В рассмотренном случае H достигает теоре­ тического минимума 0, но никогда - теоретиче­ ского максимума lg n. Иначе говоря, есть n-акры со всеми вершинами в одинаковых позициях (плато­ новы и архимедовы тела с сериями призм и анти­ призм), но нет n-акров со всеми вершинами в раз­ ных позициях. Последнее следует из несложной теоремы: любой выпуклый n-акр имеет по мень­ шей мере 4, или 3 и 2, или 3 пары вершин той же валентности. Доказательство. Допустим, что есть выпуклый полиэдр с различными (с разным чис­ лом рёбер) гранями. Построим его проекцию на грань с наибольшим числом рёбер (k-lateral facet, рис.). После того как (k-1)-, (k-2)- ... 4- и 3-угольные грани в произвольном порядке присоединены к базовой k-угольной, свободными остаются 3 ре­ бра. Очевидно, к ним будут присоединены 3 оди­ наковые, или 2 и 1, или 3 разные грани. Т.к. гра­ ни всех видов (3- ... k-угольные) уже использова­ ны, на полиэдре появятся 4 одинаковых, или 3 и 2, или 3 пары одинаковых граней. Дуальным пере­ ходом получаем, что всякий выпуклый n-акр име- Проекция на k-угольную грань. ет по меньшей мере 4, или 3 и 2, или 3 пары вер­ шин той же валентности. Оценка улучшена быть не может. Точные случаи: тетраэдр, тригональная бипирамида, 6-акр с симметрией mm2 (Войтехов- ский, Степенщиков, 2008). Заключение С формальной точки зрения, энтропия Н есть свёртка вероятностного распределения. В боль­ шинстве случаев она «не разворачивается» в исхо­ дное распределение. Энтропия Н вряд ли удобна в качестве шкалы, т.к. различным образом дефор­ мирована в разных частях поля вероятностей. Ма­ лые изменения вероятностей p в его углах приво­ дят к быстрым изменениям Н , но те же измене­ ния p в центре поля вероятностей не изменяют Н столь быстро. В примере с выпуклыми n-акрами энтропия Н связана с a.g.o. и s.p.g. лишь в первом прибли­ жении, фиксируя n-акр. на шкале от Hmin = 0 до H = lg n: чем больше a.g.o., тем меньше Н. H . = 0 max О О ' min достигается для правильных и полуправильных n-акров (все случаи перечислены) для чётных n > 4. Hmax = lg n достигается для комбинаторно асимметричных n-акров, n > 7. Энтропия Н характеризует скорее «беспо­ рядок», чем «сложность» системы, т.к. последняя должна определяться не столько через элемент­ ный состав системы, сколько через её внутриси­ стемные отношения. Применительно к выпуклым n-акрам, характеристика сложности должна раз­ личать n-акры с одной s.p.g., но различным чис­ лом рёбер, например и в первую очередь - до­ влеющее многообразие комбинаторно асимме­ тричных n-акров, неразличимых по энтропии Н = Hmax. Для этого предложено использовать энтропию Нѵ, учитывающую валентности вер­ шин n-акра. При этом доказано, что H достигает H = 0, но никогда не достигает H = lg n , т.к. не- min ' т—г т—г max О ' возможен выпуклый n-акр со всеми вершинами разной валентности.