Тиетта. 2016, N 4 (38).

Наука / Science Л М де, октаэдр дуален кубу (рис. 1, 2), и т.д. Уже эти примеры (минералог легко их продолжит) обна­ руживают в задаче Роме-де-Лиля реальную (дик­ туемую природой) подоплёку. Таким образом, эта часть задачи допускает иную, совершенно не­ тривиальную формулировку: в каждой ли т.г.с. допустима кристаллическая форма, геометриче­ ски дуальная исходной з.п.ф.? Для её решения ав­ торами составлены оригинальные компьютерные алгоритмы, позволяющие строить вершинные и рёберные усечения, распознавать п.ф. в сложных комбинациях, визуализовать их отдельно и в лю­ бых комбинациях с видимыми задними рёбрами и без них, с вращением форм и выбором наилуч­ шей проекции, и мн. др. Результаты даны в табл. 1, 2 и на рис. 3. Установлено, что в каждой т.г.с. имеющиеся п.ф. позволяют построить полные вершинное и рёберное усечения для любой исходной з.п.ф. Со­ ответствующие к.п.ф. предлагается выделить как особые. Результат кажется интересным - выше от­ мечено, что геометрическая кристалломорфоло- гия ничего не говорит об особых к.п.ф. для той или иной т.г.с. Отбор п.ф. для каждого минерала в ре­ альных условиях определяют физические законы. Для вершинных усечений найдено, что все т.г.с. допускают геометрическую форму, дуаль­ ную исходной з.п.ф. В т.г.с. 23 и -43m кубу дуальна комбинация двух тетраэдров - гемиэдрических форм октаэдра. К сожалению, тема голо-, геми-, тетарто- и огдоэдрии незаметно исчезла из кри- сталломорфологии. Между з.п.ф. обнаружены новые связи. В тригональной сингонии ромбоэдр и дитриго- нальный скаленоэдр имеют в качестве дуальных различные комбинации ромбоэдра и пинакоида. Для первого она выглядит как тригональная анти­ призма. Для второго - она же, срезанная парал­ лельно пинакоиду так, что треугольные грани ста­ ли трапециями. В кубической сингонии ромбододекаэдр, те- трагонтритетраэдр, гексатетраэдр, тригонтриок- таэдр и тетрагексаэдр имеют в качестве дуальных форм различные комбинации куба и октаэдра (или двух тетраэдров). Тетрагонтриоктаэдр и гек- соктаэдр имеют в качестве дуальных форм раз­ личные комбинации ромбододекаэдра, октаэдра и куба. Отличия состоят в разном развитии п.ф. Одна комбинация получается из другой движе­ ниями граней вдоль нормалей. Им соответствуют повороты граней исходных з.п.ф. на рёбрах. Так, грани дитригонального скаленоэдра, попарно сливаясь в параллельном положении, образуют грани ромбоэдра. Для рёберных усечений найдено, что у окта­ эдра и куба таковым является ромбододекаэдр, для тригонтриоктаэдра и тетрагексаэдра - ком­ бинация тетрагонтриоктаэдра и ромбододекаэ­ дра (в т.г.с. -43m тетрагонтриоктаэдр замещён комбинацией двух тригонтритетраэдров - ещё один пример гемиэдрии). Это подчёркивает род­ ство указанных исходных з.п.ф. Из теоремы Эйле­ ра следует, что у геометрически дуальных выпу­ клых полиэдров числа рёбер совпадают, но всегда ли совпадают их рёберные усечения - вопрос не очевиден. Продолжение задачи Роме-де-Лиля состоит в перечислении одновременно вершинных и рё­ берных усечений з.п.ф., а также в поиске их при­ родных реализаций. Комбинации п.ф. как алгебраическая структура Кристаллы минералов всегда будут восхи­ щать нас блеском граней. Но содержат ли к.п.ф. иные, доселе не выявленные смыслы? Например, какая алгебраическая система реализуется в них по аналогии с тем, что в структурах кристаллов реализованы 230 пространственных, а в их огран­ ке - 32 т.г.с., что вторые суть фактор-группы от первых по подгруппам трансляций и т. д.? Этот аспект теории до сих пор активно не обсуждался. Пусть А. , A. , Ak ... - п.ф. одной т.г.с.; i, j, k ... = 1, ..., n; где n - число п.ф. в данной т.г.с. Обозначим их комбинацию А. хA. хAkх... . Операцию х есте­ ственно назвать умножением. Определим полную совокупность к.п.ф. в данной т.г.с.: Е = {Аі х A. хAk х . : V i, j, k ... = 1, . , n}. Каковы её свойства? Будем считать комбинацию А. х A. х Akх . определённой набором входящих п.ф. без морфо­ логических и генетических смыслов: относитель­ ных площадей граней п.ф., последовательности их образования на кристалле и т. д. Тем самым определено, что Е - группоид. При этом имеет место ассоциативность операции х: (А х Aj) х Ak= А. х (Aj хAk), т. е. Е - полугруппа. Очевидно, А. х Aj = х A. для любых i, j, т. е. Е - коммутативная полугруппа. Из А. х Aj = А. х Akследует Aj = Ak. Аналогично из А. х Ak= А. х Akследует А. = А - имеют место левое и правое сокращения, т. е. Е - полугруппа с двусторонним сокращением. Для любой п.ф. выполнено А хA =А - такие элементы в алгебраических системах называются идемпотентами. Каждый элемент полугруппы Е идемпотентен. Это означает, что каждая п.ф. при­ сутствует на кристалле в одном экземпляре.