Тиетта. 2015, N 4 (34).

r / > / i Наука / Science Переходя к логарифмам (по любому основанию), по­ лучим lg S и (n-1) lg4 - lg3. При этом lg Ln= (1-n) lg 3 и легко видеть, что lg S и - (lg 4 / lg 3) lg Ln- lg 3 = - D lg L - lg 3. Итак, фрактальная размерность D может быть найдена как угловой коэффициент (с противопо­ ложным знаком) линейной зависимости lg S vs lg Ln. Перейдём к стохастическому фракталу с размер­ ностью D и проверим возможность её вычисления тем же способом. В алгоритме генерирования снова будем исходить из единичного элемента: N = 1, Lj = 1. На втором шаге N2= s, L2= 1 / t, где по смыслу построения фрактала из всё большего числа всё более мелких дета­ лей s > 1, t > 1- константы. На n-ом шаге N = s1'1, L = 1 7 n 7 n / tn-1, а число ранее генерированных элементов длиной L > L может быть найдено как сумма геометрической прогрессии: S = 1 + s + s2+ ... + sn-2= (sn-1-1) / (s-1) и sn-1/ (s-1), так как 1 << sn-1. Перейдём к логарифмам: lg S и (n-1) lg s - lg (s-1). Но lg Ln= (1-n) lg t и легко ви­ деть, что lg S и - (lg s / lg t) lg Ln- lg (s-1). По определе­ нию, в исходном фрактале Nn= k Ln-D, то есть sn-1= k tD(n-1). Перейдём к логарифмам: (n-1) lg s = D (n-1) lg t + lg k, или lg s / lg t = D + lg k / (n-1) lg t и D, так как с ро­ стом числа n итераций второе слагаемое стремится к нулю независимо от констант k и t. Но тогда lg S = - D lg Ln- lg (s-1), и фрактальная размерность D действи­ тельно может быть найдена как угловой коэффициент (с противоположным знаком) линейной зависимости lg S vs lg L . Итак, со сделанными оговорками обобщён­ ное правило Корчака можно считать обоснованным для любых - геометрических и стохастических - фракталов. Местом для измерений крон Betula pubescens Ehrh. была выбрана просека, вырубленная для строительства ЛЭП на окраине г. Апатиты ~ 40 лет назад. Этим и определяется возраст берёз - пио­ неров заселения пожарищ и вырубок. В начале лета 2007 г. деревья вырублены при строительных работах. Автором отобраны 7 деревьев с непо­ вреждёнными кронами. Методика измерений: ветви измерялись последовательно, от коротких к длинным, и срезались во избежание повторов. Измерения выполнялись мерной лентой для луч­ шего учёта изгибов веток. В замерах участвовали два исследователя: один измерял и срезал ветви, другой записывал значения в таблицу. Измерение каждой кроны заняло около 5 часов. Расчёты, результаты и обсуждение Натурные измерения длин ветвей обнару­ живают важное обстоятельство - при достаточно высокой точности измерения каждая ветвь имеет индивидуальную, более не повторяющуюся в ста­ тистической выборке длину, то есть N(L) = 1 для любого L. Но тогда на графике lg N(L) vs lg L ор­ динаты всех точек обращаются в нуль. Это извест­ ная в прикладной статистике задача нахождения плотности вероятностей непрерывной случайной величины по дискретной эмпирической выборке, которая решается группировкой данных или пе­ реходом к кумулятивной статистике с последую­ щей - при необходимости - её аппроксимацией гладкой функцией и дифференцированием. За­ метим, что правило Корчака использует именно кумулятивную статистику. Для группировки экспериментальных дан­ ных можно применить два подхода: (1) отожде­ ствить размерные классы с итерациями в по­ строении фрактала, то есть в нашем случае - с ветвлениями кроны, и (2) использовать для их Таблица 1. Статистика ветвей в размерных классах. Table 1. Statistics of branches in bins. L, см N 1 2 3 4 5 6 7 0 - 25 826 809 799 798 820 812 787 2 OS 1 5 О 307 302 337 331 311 309 325 57 1 51 66 69 68 67 64 65 70 00 1 67 25 36 26 27 24 37 34 101 - 125 8 11 9 8 10 9 8 05 1 ч о 12 8 8 7 5 7 5 7 57 1 51 2 1 3 1 2 2 3 176 - 200 1 3 3 1 2 3 2 201 - 225 1 0 1 2 1 1 1 226 - 250 0 0 0 0 0 1 1 251 - 275 1 1 1 1 0 0 1 276 - 300 0 0 0 0 1 0 0 Примечание: здесь и далее 1-7 - номера крон, серым цветом выделены отсеченные размерные классы. Note: here and below, 1-7 are numbers of crowns, truncated bins are colored grey.