Тиетта. 2015, N 4 (34).

Наука / Science \ М принимающую лишь целочисленные значения 1, 2 и 3. Для модельных фракталов величина D, как правило, бывает дробной. Это и послужило причиной названия: «Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно - и как кстати! - будет предположить, что, помимо значения фрагментированный ... слово fractus должно иметь и значение неправильный по форме - примером сочета­ ния обоих значений может служить слово фрагмент » (Мандельброт, 2202, с. 18). Заменив в приведенном выше соотношении знак пропорциональности на коэффициент k > 1 (по смыс­ лу, k есть длина, площадь или объём, измеряемые еди­ ничным эталоном на первом шаге изучения фрактала, откуда и следует приведённое неравенство), получим уравнение N(L) = k L-D, которое легко логарифмирует­ ся: lg N(L) = - D lg L + lg k. Эта линейная регрессия, используемая для определения D, всегда пересекает ось ординат в верхней полуплоскости, то есть lg k > 0 и k > 1 , что иллюстрирует предыдущее примечание. В полученной форме уравнение позволяет применять стандартные методы математической статистики для отыскания D как углового коэффициента (с противопо­ ложным знаком) прямой, наилучшим образом аппрок­ симирующей зависимость N(L) от L в двойном (т.е. по обеим осям координат) логарифмическом масштабе. Возможность применения математической статистики, в том числе отыскания наилучшей линейной регрессии методом наименьших квадратов, подразумевает пред­ ставительность выборки (т.е. числа измеренных веток) и достаточный диапазон изменения величины L (т.е. длины веток). В последнем условии неявно заложено важное требование ко всем фрактальным объектам - их фрактальность угадывается в самоподобии, повто­ ряемости структурного мотива на нескольких иерархи­ ческих уровнях, когда мельчайший элемент структуры ещё не различим, а вся структура уже выходит за поле зрения. Предварительный осмотр крон Betula pube- scens Ehrh. показал, что в них имеет место 6 стадий ветвления, а длины ветвей изменяются от 1 до 280 см. Предполагается, что необходимые условия для выяв­ ления фрактальности, если таковая имеется, в данном случае выполнены. Есть очевидная проблема в том, чтобы реали­ зовать метод подсчёта клеток для 3D биологических объектов. В нашем исследовании для этого потребо­ валось бы наложить на крону дерева 3D сеть с после­ довательно уменьшающимися ячейками, что техниче­ ски невозможно. Многими авторами утверждается, что различная ориентация сети относительно изучаемой структуры (например, ветвей в кроне дерева) даст раз­ личные значения размерности, поэтому всякий объект должен характеризоваться диапазоном её изменения, а сам метод подсчёта клеток пригоден лишь для при­ ближённой оценки D (Normant, Tricot, 1991; Appleby, 1996). В статье (Morse et al., 1985) выход из ситуации видится в том, чтобы анализировать 2D фотоизобра­ жение 3D структуры, например, кроны дерева без ли­ ствы. Фрактальная размерность d плоской проекции ограничена топологическими размерностями линии и плоскости: 1 < d < 2. Следуя эвристическому правилу Б. Мандельброта, если проекция выполнена на случай­ ную плоскость, ортогональную оси проекции, то ис­ тинная фрактальная размерность D структуры заклю­ чена в пределах d+1 < D < 2d. При d = 1.3 получим 2.3 < D < 2.6 - довольно грубую оценку. В работе (Huang, Turcotte, 1989) утверждается, что подобная экстраполяция на более высокие размерности некор­ ректна в принципе. Несмотря на это, метод использо­ ван в работах (Shorrocks et al., 1991; Gunnarsson, 1992). Иной подход предложен в статье (Burrough, 1981). Для архипелагов «самоподобных» островов доказыва­ ется соотношение N ~ S-D/2, где N - число островов с площадью, превосходящей S. Учитывая, что площадь пропорциональна квадрату характерного линейного размера R, его можно переписать в виде N = k R-D, где k > 0 - постоянный коэффициент. В статьях (Burrough, 1983; Turcotte, 1986) утверждается, что для частиц в почвах и других геологических материалах имеет ме­ сто та же формула, где N - число частиц с радиусом, превосходящим R. Тот же подход под названием со­ отношения Гутенберга-Рихтера использован в статье (Turcotte, 1994, с. 7-9) для изучения статистики зем­ летрясений с различными магнитудами. Б. Мандель­ брот (2002, с. 171) отмечает, что это соотношение яв­ ляется обобщением эмпирического правила Й. Корчака (Korčak, 1938), который полагал D = ‘A Схема доказа­ тельства изложена Б. Мандельбротом (2002, с. 172) в четырёх предложениях. Поскольку наши расчёты да­ лее используют именно эту формулу, остановимся под­ робнее на её доказательстве, в качестве иллюстрации предварив его анализом классического фрактала - гео­ метрически самоподобной троичной кривой Коха. На первом шаге построения кривой Коха берёт­ ся единичный отрезок. На втором шаге удаляется его средняя треть и над ней надстраиваются стороны рав­ ностороннего треугольника - получается ломаная из 4 звеньев, каждое длиной 1/3. Далее процедура повто­ ряется с каждым из отрезков. На n-ом шаге получаем кривую из Nn= 4n-1 звеньев, каждое длиной Ln= 1 / 3n-1. Известно, что её фрактальная размерность D = lg4 / lg3 и может быть получена из соотношения lg Nn vs lg Ln, а именно: D = - lg Nn/ lg Ln. Но заметим, что после n-го шага число предшествовавших (и уничто­ женных построением) отрезков длиной L > Ln может быть найдено как сумма геометрической прогрессии: 5 = 1 + 41+ 42+ ... + 4n-2= (4n-1-1) / 3 и 4n-1/ 3, так как число итераций велико и 1 много меньше (<<), чем 4n-1.