Тиетта. 2015, N 4 (34).

Наука / Science л м фрактальная размерность кроны не может превы­ шать 2 - топологической размерности плоскости. (Возможно, именно на это указывало самое низ­ кое значение D = 1.75 на рис. 2, внизу справа, при уменьшении размерного интервала до 0 - 100 см). И это обстоятельство ставит в нашем исследова­ нии точку, заставляя определить изученные кро­ ны как псевдофракталы - структуры, формально характеризуемые значимыми линейными регрес­ сиями в координатах lg S vs lg L в размерном диа­ пазоне ветвей 25 + 100 см. По-видимому, исследователи уже встреча­ лись с природными псевдофракталами, не акцен­ тируя внимания на досадном «псевдо». Так, в ра­ боте (Tyler, Wheatcraft, 1989) формула N = k R-D, где N - число частиц с радиусом, превышающим R, использована для анализа структуры почв. Ав­ торы справедливо утверждают, что рост фракталь­ ной размерности D означает увеличение фрагмен­ тации почв. При этом для илисто-глинистых почв ими получено D = 3.0^3.5, что невозможно для при­ родного фрактала, заведомо вложенного в 3D про­ странство. Заметим, что применительно к почвам приведенная выше формула называется «законом Росина, Rosin's law» (Turcotte, 1986). Для анализа распределения масс частиц различной крупности он модифицирован в работе (Perfect et al., 1992). Заключение Нет сомнения в том, что фрактальный ана­ лиз найдёт (впрочем, уже нашёл) широкое при­ менение в биометрии при описании не только ветвистой структуры крон, но и всей архитектуры деревьев: корневой системы, жилкования листьев, распределения массы листьев в пространстве кро­ ны и т.д., а также зависимостей между различ­ ными параметрами растений и растительных со­ обществ. Но мы не можем согласиться с автором статьи (Богатых, 2006) о вездесущности фракталов и фрактальной теории как панацее в изучении природных структур. Важно понимать, что при­ родный объект - не математический фрактал, бес­ конечный в обе стороны масштабного диапазона. Он может проявлять свойства фрактала лишь в некотором статистическом приближении и мас­ штабном диапазоне. Первое обстоятельство долж­ но удерживать от радикального утверждения, что данный объект - именно фрактал, ведь в рамках новой теории будет достигнуто ещё лучшее при­ ближение - такова логика науки. Во втором обсто­ ятельстве кроется, пожалуй, самая интересная для биолога задача - объяснить по существу, почему в данном масштабном диапазоне целесообразной (минимизирующей затраты вещества, энергии, жизненного времени...?) оказалась именно фрак­ тальная организация объекта. По ходу анализа 7 крон Betula pubescens Ehrh. установлено: 1. Хорошо известные в биологии аллометри- ческие (степенные) зависимости являются (псев- до)фрактальными тогда и только тогда, когда они устойчивы по обоим коэффициентам k и D (рис. 1) в некотором диапазоне изменения аргу­ мента (в нашем случае L). 2. Правило Корчака (соотношение Гутенберга- Рихтера, закон Росина) асимптотически верно для модельных геометрических и стохастических фракталов, что подразумевает бесконечное число итераций. Его применение для природных фрак­ талов (с конечным, хотя и, возможно, большим числом итераций) должно проверяться неравен­ ством lg k / lg (1/Ln) << D, которое вводится нами как критерий внутренней непротиворечивости расчётной оценки фрактальной размерности D. 3. Процедура группировки исходных данных в размерные классы, по-видимому, не вносит в оценку величины D существенных изменений (рис. 3). И всё же целесообразно выполнять рас­ чёты без группировки. 4. Неясно, принципиально ли в статистиче­ ской обработке данных отождествление размер­ ных классов с последовательными ветвлениями кроны, или допустима формальная группировка ветвей, например, по Стрэйджерсу. Нужно спе­ циальное исследование этого вопроса. 5. Линейные участки на графиках lg S vs lg L не обязательно указывают на фрактал (рис. 4). Коэф­ фициент детерминации R2и рассчитанные на его основе критерии Стьюдента и Фишера являются лишь показателями качества аппроксимации, но не критериями фрактала. 6. Следует отличать природный фрактал от его геометрической модели - их размерности могут сильно различаться. Так, размерность фракталь­ ной кроны должна лежать в границах от 2 до 3, тог­ да как размерность дерева-графа - от 1 до 2. Для проверки расчётных размерностей природных фракталов желательны независимые критерии. Список литературы 1. Богатых Б.А., 2006. Фрактальные структуры живого и эволюционный процесс // Журнал общ. биол. Т. 67. № 4. С. 243-255.