Тиетта. 2014, N 1 (27).

Г/ “ h Наука / Science От Архимеда до Кантора: размышление о петрографическом пространстве Почему трактат вспомнился мне в связи с Международным годом кристаллографии? Се­ годня мы знаем, что сферы неподвижных звёзд нет. Они лишь видятся нам в проекции на вооб­ ражаемую сферу, но удалены от нас на различ­ ные расстояния, уходящие в бесконечность. По­ этому, «расследуя этот предмет ещё обстоятель­ нее», как того хотел Архимед, отдадим себе от­ чёт в том, что, засыпая мир песком до мыслимо­ го предела, он должен был уйти в бесконечность. Можно ли представить себе бесконечно боль­ шую кучу песка? Вопрос кажется абсурдным? Но ведь кристаллограф представляет себе идеаль­ ный кристалл именно так! Замечу, что идеаль­ ный кристалл мыслится бесконечным не потому, что огромен по сравнению с параметром решёт­ ки. А потому, что этого требует фундаментальная теория Фёдорова-Шёнфлиса, включающая пре­ образования симметрии с трансляциями. Конеч­ ное тело трансляций «не терпит» - они «выводят его из себя». И это не противоречит тому, что тип устройства кристаллического пространства рас­ познаётся по фрагменту - реальному кристаллу. К чему ведёт представление о бесконечной горной породе, если не отвергать его с порога? Для начала определим, сколько в ней минераль­ ных зёрен. «Очевидно, их бесконечно много» - ска­ жете вы. Но бесконечность бесконечности - рознь. И это не очевидно. Теорию бесконечностей в на­ чале ХХ в. построил Г. Кантор, расколов множе­ ство математиков на ярых сторонников и против­ ников. Эта теория - из разряда тех, что одной но­ гой стоят в философии. Само понятие бесконеч­ ного (по мощности, т. е. числу элементов) множе­ ства впервые удалось определить именно ему. Это множество, равномощное некоторому собствен­ ному подмножеству. Самое маленькое бесконеч­ ное множество - это множество натуральных чи­ сел: 1, 2, 3... Потому оно названо счётным и обо­ значено К0 (алеф-нуль). Г. Кантор определил ие­ рархию бесконечных множеств. Мощность каж­ дого последующего равна мощности множества всех подмножеств предыдущего. Так, за счётным множеством идёт континуум: К1= 2К°. Приведён­ ное степенное обозначение следует из комбинато­ рики конечных множеств (бином Ньютона). В по­ пытке охватить воображением формулу «множе­ ство всех подмножеств бесконечного множества» неизбежно вызываю головокружительную и пуга­ ющую огромностью картину суперпозиции мер­ цающих и разбегающихся в пространстве сфер... Но вернёмся к бесконечной горной породе, хотя бы к уже насыпанной Архимедом и сильно увеличенной нами куче песка. Выберем в ней пес­ чинку и определим её 1-ю координационную сфе­ ру (корону, оболочку, с л о й .) - все песчинки, ко­ торые её касаются. Аналогично определим снару­ жи 2-ю, 3-ю . сферы. Ничто не мешает нам пред­ ставить кучу песка в виде совокупности последо­ вательных оболочек. По ходу дела мы занумеро­ вали их числами натурального ряда, т. е. их чис­ ло счётно. В силу ограниченности размера зерна снизу и сверху, объём оболочки с как угодно боль­ шим номером конечен. Значит, конечно и число зёрен в оболочке. Так сколько же песчинок в бес­ конечной куче? Ответ даёт теорема Г. Кантора: счётное число конечных множеств (как и конеч­ ное число счётных множеств) счётно. Ранее мной предлагалось представление о горной породе как топологическом пространстве: «Множество элементов любой природы назы­ вается топологическим пространством, если оно Г. Кантор, 1845-1918. G. Cantor, 1845-1918.