Тиетта. 2013, N 2 (24).

И то потому только, что есть единственный 4-эдр, все грани 3-угольные и сходятся по 3 в каждой из 4 вершин. Предельная простота подчёркивается его другим именем - симплекс. А вот ромбододекаэдр. Он замечательно проявлен на кристаллах альмандина из место­ рождений гг. Макзапахк и Берёзовая в Зап. Кей­ вах на Кольском п-ове (рис. 5). Нравится вам это имя? Оно говорит о том, что у полиэдра 12 гра­ ней, все - ромбы. Эта элегантная форма лег­ ко запоминается студентами. А если отвлечься от метрических соотношений, то можно ли её с чем-то спутать? Есть ли другие 12-эдры, у кото­ рых все грани 4-угольные? Оказывается, их 11 с разными симметриями [4, с. 520-521]: 2 №№ 1-3, m №№4-5, 222 №6, mm2 №7, -3m №8, -6m2 №9, -12 2m № 10, m3m № 11 (рис. 6). По точечной группе сим­ метрии m3m легко догадаться, что «наш» пря­ чется под № 11. А вот пентагондодекаэдр, то есть 12-эдр со всеми 5-угольными гранями, уника- грани - тоже треугольники, по 4 восстановленные над каркасом гексаэдра. Из второго и третьего имён выпало указание на треугольный характер граней. Их полные имена - тригонгексоктаэдр и тригонтетрагексаэдр. Предлагаю читателям само­ стоятельно убедиться в том, что и все не рассмо­ тренные здесь кристаллические полиэдры служат ярлыками (ничего не говоря о строении полиэ­ дра), указывают на элементы строения (чаще все­ го не однозначно) или способ устройства (где это наглядно). Это плохие имена, хотя и звучные, про­ исходящие от греческих корней. Как выглядят хорошие имена? Есть ли бо­ лее рациональные способы именования выпуклых полиэдров? Есть, мы рассмотрим лишь один из них. Для простоты представьте себе тетраэдр. По- нумеруйте его вершины в любом порядке цифра­ ми от 1 до 4. Заполните матрицу 4x4 единицами и нулями по правилу: если i-я и j-я вершины соеди­ нены ребром, то в положении (i, j) ставьте 1, ина- Рис. 6. Все выпуклые 12-эдры с 4-угольными гранями. Fig. 6. All convex 12-hedra with 4-gonal facets. лен [4, с. 778, 782]. И всё равно это плохое имя, поскольку не из него следуют единственность и устройство полиэдра. Целый ряд кристаллических полиэдров но­ сит «конструктивистские» имена, например, пен- тагонтриоктаэдр, гексоктаэдр и тетрагексаэдр (рис. 7). У первого все грани - пентагоны, по 3 вос­ становленные над гранями октаэдрического кар­ каса. У второго все грани - треугольники, по 6 вос­ становленные над тем же каркасом. У третьего все Рис. 7. Слева направо: пентагонтриоктаэдр, гексокта- эдр и тетрагексаэдр. Fig. 7. From left to right: pentagontrioctahedron, hexocta- hedron and tetrahexahedron. че - 0. Ясно, что матрица симметрична относи­ тельно главной диагонали, на которой стоят нули. Она полностью задана верхним треугольником. Что получили для тетраэдра? Одни единицы! Вы­ пишите их построчно - это и есть имя тетраэдра в двоичной системе счисления: 111111. Оно кажется вам длинным? Запишите рядом свои фамилию, имя и отчество и сравните... А в привычной нам десятичной системе счисления имена ещё короче. Имя тетраэдра - 63. Из-за высокой симметрии тетраэдра и мало­ го числа граней все способы нумерации его вер­ шин дают одно и то же имя. Все остальные поли­ эдры допускают нумерации, приводящие к раз­ личным именам. Так, есть всего два комбинатор­ ных типа выпуклых 5-эдров: 4-гранная пирамида и 3-гранная призма. У первой - 15 (507, 509, 510, 751, 759, 766, 863, 887, 893, 927, 943, 955, 990, 1005, 1011), у второй - 60 имён. Убедитесь в этом кро­ потливыми расчётами, чтобы оценить стоимость информации, заключённой в предыдущем пред­ 5