Тиетта. 2013, N 2 (24).

сутствовать четвёрка, или тройка и пара, или три пары одноимённых граней. Других выпуклых по­ лиэдров нет. Второй результат состоит в том, что точечные группы симметрии (оставляющие при каждом движении хотя бы одну неподвижную точку фигуры), используемые в минералогии и кристаллографии для описания форм кристал­ лов, и гранные символы в общем случае не связа­ ны. Это скорее хорошо, чем плохо, поскольку две характеристики можно использовать как допол­ нительные при описании полиэдра. Богатая история систематического изуче­ ния комбинаторного многообразия выпуклых по­ лиэдров, охватившая вторую половину XIX и весь XX век, описана в монографиях [4, 5]. Результат мо­ жет показаться скромным, ведь на сегодня пере­ числены, охарактеризованы точечными группами симметрии, гранными символами и нарисованы (!) «всего лишь» все 4- ... 12-эдры и простые (в каждой вершине сходятся ровно три грани) 13- ... 16-эдры. Но обратите внимание на числа выпуклых n-эдров с ростом n от 4 до 12: 1, 2, 7, 34, 257, 2606, 32300, 440564, 6384634; и простых выпуклых n-эдров с ро­ стом n от 13 до 16: 49566, 339722, 2406841, 17490241 - они растут быстрее, чем экспонента. А ведь это лишь начало многообразия. Разбиения классов n-эдров по числу вершин дано в табл. 1. Что можно сказать о симметрии этого огром­ ного числа выпуклых полиэдров? Все 4-, 5- и 6-эдры комбинаторно симметричны. Среди 7-эдров ком­ бинаторно асимметричных 7 (20.588 %), 8-эдров - 140 (54.475), 9-эдров - 2111 (81.005), 10-эдров - 30014 (92.923), 11-эдров - 430494 (97.714), 12-эдров - 6336013 (99.238), среди простых 13-эдров - 47030 (94.884), 14-эдров - 331796 (97.667), 15-эдров - 2382352 (98.983), 16-эдров - 17411448 (99.550). В многообразии установлены полиэдры 24 кри­ сталлографических (1, 2, m, -1, 3, 222, mm2, 4, 2/m, -4, 32, -6, 3m, 4mm, mmm, -42m, -6m2, -3m, 6mm, 23, 4/mmm, 6/mmm, -43m, m3m) и 20 некристалло­ графических (5m, 7m, -82m, 8mm, 9m, -10m2, -5m, 10mm, 11m, -12m2, -7m, -14m2, 8/mmm, -18m2, 10/ mmm, -22m2, 12/mmm, -26m2, 14/mmm, -3-5m), большей частью встреченных в биологических объектах, видов симметрии. Не найдены простей­ шие выпуклые полиэдры кристаллографических классов -3, 4/m, 422, 6, 6/m, 622, m3, 432, что пред­ ставляет интересную задачу. Главный и неожиданный вывод состоит в том, что с ростом n доля комбинаторно асимме­ тричных n-эдров асимптотически стремится к 100 %! Но она возникает на определённом уров­ не сложности, а именно с 7-эдров (7 из 34, рис. 2) и далее стремительно нарастает. Среди малой то­ лики симметричных форм преобладают (по убы­ ванию) точечные группы симметрии m, 2 и mm2. На их фоне прочие группы симметрии встреча­ ются крайне редко. Энантиоморфизм (т.е. способность иметь зеркально-симметричного двойника, как правая и левая рука) допускают не только комбинатор­ но асимметричные формы. Важно, чтобы в их то­ чечной группе симметрии содержались лишь по­ вороты. Такая форма с группой симметрии 2 (ось симметрии 2-го порядка, при полном поворо­ те вокруг неё форма совмещается с собой 2 раза) впервые появляется среди 6-эдров, среди 7-эдров их уже 4 (рис. 3), среди 8-эдров - 22, далее их чис­ ло быстро растёт. С ростом n постепенно проявляются новые энантиоморфные группы: 3 среди 9-эдров, 222 среди 10-эдров, 32 среди 11-эдров (рис. 4) и т.д. Рис. 2. Простейшие комбинаторно асимметричные полиэдры в проекции Шлегеля на одну из граней. Опрошен­ ные мной минералоги не смогли нарисовать ни одного комбинаторно асимметричного полиэдра. Не потому ли, что в детстве они играли симметричными кубиками и пирамидками? Fig. 2. Prime combinatorial^ asymmetric polyhedra in Schlegel projection on one of facets. Respondent mineralogists failed to draw at least one combinatorially asymmetric polyhedron. May be, because they played with symmetric cubes and pyramids in their childhood? Рис. 3. Простейшие полиэдры с точечной группой симметрии 2. Ось симметрии хорошо видна на проекциях 2-5, поскольку перпендикулярна плоскости рисунка. На проекции 1 она занимает косое положение, проходя через се­ редины рёбер, соединяющих пару 4- и пару 3-угольных граней. Fig. 3. Prime polyhedra with point group of symmetry 2. Symmetry axis is well observed on projections 2-5, since it is perpendicular to figure plane. It is slanting on projection 1, going through middles of edges connecting pair of 4- and pair of 3-gonal facets. 3